动态规划(一)

做题思路

前导技能:递归,基本的暴力搜索(必会)

l 定义

本质:递归

原问题(N)->子问题(N-1)->原问题(N)

最优子结构

      1.子问题最优决策可导出原问题最优决策

      2.无后效性

重叠子问题

      1.去冗余

      2.空间换时间

l 问题共性

套路:最优,最大,最小,最长,计数

离散问题:容易设计状态(整数01背包问题)

最优子结构:N-1可以推导出N

l 基本步骤

设计暴力算法,找到冗余

设计并存储状态(一维,二维,三维数组,甚至用map)

递归式(状态转移方程)

自底向上计算最优解(编程方式)

实战coding

一、House Robber

假设有一位专业的小偷要对街上一排互相相邻的房间实施偷盗,但没两个相邻的房间之间有安保措施,所以不能对两个相邻的房间同时实施偷盗,不然就会触发报警装置。给定一个数组列表,每个元素代表每间房子中的money的数目,题目要求在不触发警报的前提下,该小偷一次最多能偷多少money?

这是一个很简单的动态规划题,我们开始不用动态规划的方法去做,我们用暴力方法去做

图1-1 house robber暴力代码

暴力代码我们写出来了,但是这在oj中肯定是过不了的,时间复杂度太高了O(2^n),按照做题的思路,第二步我们要做的就是找冗余,我们首先思考一下,假设我们一开始抢n-1,那么接下来我们可以抢n-3,n-4,n-5……,或者我们一开始抢n-2,那么我们接下来可以抢n-4,n-5…….两种不同的抢法,仅仅影响了n-3能不能抢,但是后面重复计算了很多,很显然这就是我们代码冗余的地方,接下来我们就要设计一个东西去存储我们已经算过的值,这样就不会重复计算了,这里明显用一个一维数组会比较好,下面给出思路

初始化数组为-1->将计算过的值存储到数组中->判断数组当前位置的值是否为-1,是就继续算,不是就返回当前数组的值

图1-2 house robber DP代码

建议读者仔细对比一上下两个代码,其实动态规划与暴力代码非常相似,只不过用了记忆化存储的思想,将算过的值存储了下来,强烈建议初学者就按照这样的步骤,先写出暴力代码,找冗余,去冗余,动态规划就成了

二、小兵向前冲

      N*M的棋盘上,小兵要从左下角走到右上角,只能向上或者向右走,问有多少种走法

还是一样,我们先写暴力搜索的代码

图2-1暴力代码

这道题暴力代码很简单,比第一题还简单,主要是我们如何想到这个递归式,首先分析原问题和子问题有哪些关系,这个关系就在于题目中给我们可以做的决策(向上或者向右走一步)

然后我们将他的冗余找到,这个冗余很简单,和上面一题类似,就是重复计算了,所以我们想办法去除冗余,这样DP代码就成了

图2-2 DP代码

我们继续深入,再多思考一些问题,还是这道题,如果题目给定条件,某些格子禁止小兵进入,假设是3*3的棋盘,第一行第二列的位置禁止进入,样例见下图

图2-3样例

图2-4特殊条件DP代码

三、0-1背包问题

给定n种物品和一个容量为C的背包,物品i的重量是wi,其价值为vi。应该如何选择装入背包的物品,使得装入背包中的物品的总价值最大?

终于到了最最最经典的一道动态规划题0-1背包,我们先不管其他的,先写出暴力代码

图3-1暴力背包代码

这道题的冗余很明显,和上面几题一样的,都是相同的状态被计算了多次,所以我们用一个二维数组去存他,让他每一种状态不会被重复计算

图3-2背包DP代码

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