动态规划（一）

做题思路

前导技能：递归，基本的暴力搜索（必会）

l 定义

本质：递归

原问题（N）->子问题（N-1）->原问题（N）

最优子结构

      1.子问题最优决策可导出原问题最优决策

      2.无后效性

重叠子问题

      1.去冗余

      2.空间换时间

l 问题共性

套路：最优，最大，最小，最长，计数

离散问题：容易设计状态（整数01背包问题）

最优子结构：N-1可以推导出N

l 基本步骤

设计暴力算法，找到冗余

设计并存储状态（一维，二维，三维数组，甚至用map）

递归式（状态转移方程）

自底向上计算最优解（编程方式）

实战coding

一、House Robber

假设有一位专业的小偷要对街上一排互相相邻的房间实施偷盗，但没两个相邻的房间之间有安保措施，所以不能对两个相邻的房间同时实施偷盗，不然就会触发报警装置。给定一个数组列表，每个元素代表每间房子中的money的数目，题目要求在不触发警报的前提下，该小偷一次最多能偷多少money？

这是一个很简单的动态规划题，我们开始不用动态规划的方法去做，我们用暴力方法去做

图1-1 house robber暴力代码

暴力代码我们写出来了，但是这在oj中肯定是过不了的，时间复杂度太高了O（2^n），按照做题的思路，第二步我们要做的就是找冗余，我们首先思考一下，假设我们一开始抢n-1，那么接下来我们可以抢n-3，n-4，n-5……，或者我们一开始抢n-2，那么我们接下来可以抢n-4，n-5…….两种不同的抢法，仅仅影响了n-3能不能抢，但是后面重复计算了很多，很显然这就是我们代码冗余的地方，接下来我们就要设计一个东西去存储我们已经算过的值，这样就不会重复计算了，这里明显用一个一维数组会比较好，下面给出思路

初始化数组为-1->将计算过的值存储到数组中->判断数组当前位置的值是否为-1，是就继续算，不是就返回当前数组的值

图1-2 house robber DP代码

建议读者仔细对比一上下两个代码，其实动态规划与暴力代码非常相似，只不过用了记忆化存储的思想，将算过的值存储了下来，强烈建议初学者就按照这样的步骤，先写出暴力代码，找冗余，去冗余，动态规划就成了

二、小兵向前冲

      N*M的棋盘上，小兵要从左下角走到右上角，只能向上或者向右走，问有多少种走法

还是一样，我们先写暴力搜索的代码

图2-1暴力代码

这道题暴力代码很简单，比第一题还简单，主要是我们如何想到这个递归式，首先分析原问题和子问题有哪些关系，这个关系就在于题目中给我们可以做的决策（向上或者向右走一步）

然后我们将他的冗余找到，这个冗余很简单，和上面一题类似，就是重复计算了，所以我们想办法去除冗余，这样DP代码就成了

图2-2 DP代码

我们继续深入，再多思考一些问题，还是这道题，如果题目给定条件，某些格子禁止小兵进入，假设是3*3的棋盘，第一行第二列的位置禁止进入，样例见下图

图2-3样例

图2-4特殊条件DP代码

三、0-1背包问题

给定n种物品和一个容量为C的背包，物品i的重量是wi，其价值为vi。应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中的物品的总价值最大？

终于到了最最最经典的一道动态规划题0-1背包，我们先不管其他的，先写出暴力代码

图3-1暴力背包代码

这道题的冗余很明显，和上面几题一样的，都是相同的状态被计算了多次，所以我们用一个二维数组去存他，让他每一种状态不会被重复计算

图3-2背包DP代码