乍一看”蒙提霍尔”这个名字可能感觉陌生,但其实问题的内容大家或多或少应该都听闻过,在此简单复述一下:
有三扇门,其中一扇门背后有奖励,另外两扇门后面则没有,现在你先随机选择其中一扇门,然后把余下两扇门中没有奖励的那扇门打开,并给你一次重现选择的机会,你是否应该改变最初的选择?
文字描述的可能还是有些绕路,使用符号化形式的实例再表述一遍 :)
三扇门 A, B, C, 你先选择了 A, 然后把 B, C 中没有奖励的 B 打开,这时你是否应该放弃最初的选择(A),转而选择 C ?
这个问题容易让人困惑,你可能会维持最初选择,因为:
但可惜这些都是错误答案,正确答案是你应该转换选择!
这个问题有很多正确的理解方法,譬如:
另外的还有一种帮助我们思考的理解方法:
以上这些理解方法都需要一些巧思,另一种相对朴素的理解(计算)方式则是直接从概率的定义出发:
我们列举出该问题所有可能的组合方式(总样本数量S),然后找出其中维持初选并且选中(奖励)的方式(样本数量A),相关概率即可通过下面公式计算:
P(维持选择并选中) = A / S P(改变选择并选中) = 1 - A / S
首先我们来计算总样本数量S:
综上, S = 3 * 3 * 2 = 18
(注意,这里有个晦涩的计数问题,你可能会问:如果第二步中我们没有随机到奖励门,那么第三步中可以选择打开的门便只有1种,而不是2种,所以我们不能用这种方式计算总样本数量. 这种说法其实是混淆了总样本数量和总排列组合数量:对于总排列组合数量而言,确实不能这样计算,但是对于总样本数量而言,其实其中是包括部分重复的排列组合的! 也许我们可以这么理解:最后选择打开的门时仍然看做随机选取,只是在随机到奖励门的时候主动变更到非奖励门,这样可以随机的门的种类仍然可以看做2种)
然后我们来计算样本数量A(维持初选并选中的方式):
综上, A = 3 * 1 * 2 = 6
有了 S 和 A ,我们便可以计算我们想要的概率了:
P(维持选择并选中) = A / S = 6 / 18 = 1 / 3 P(改变选择并选中) = 1 - A / S = 1 - 6 / 18 = 2 / 3