53. Binomial Tree 53.1 用1步或者2步二叉树方法计算美式/欧式期权价值 European Option 可以使用二叉树来计算,使用概率乘以期权期望的折现。U=size of up move factor=
D=size of down move factor=
risk-neutral probability 计算
2步二叉树example
call, S=20, 14%,=4%,K=20
计算U和D=1.15
计算涨跌概率=0.61(上涨概率)
画二叉树  如果行权call的价值计算,并折现:call=0.61 * 0.61 * (26.45-20) * =2.21
用PS=CK计算P:-20=0.67
comparable European Option 可以使用 put-call parity来计算:P+S=C+K
American option > 当intrinsic value大于第二步权期望收益的折现时,American option在第一步就会提前行权53.2 描述在二叉树中如何捕获波动率 标准差越高,股票涨跌的离差(dispersion)就越高,因此在二叉树里评估each time period股票的价格时,就可以捕获波动率。
53.3 描述用二叉树计算的价值当时间增加的时候如何收敛converges 当每一个period被刻意拆解的很小时,二叉树这种离散(discrete)时间周期,就会收敛(converges)成连续时间周期
53.4 解释二叉树如何用来计算,有红利股票,股票指数,货币和期货 stock pay dividend q
stock indices 和有红利股票计算类似
option on currencies
futures 二叉树包含了在期货上的期权特征,由于期货几乎不要成本,在risk-neutral设定下:
54. The BSM Model 54.1 解释股票价格的lognormal属性,收益率的分布,并计算期望收益 BSM模型假设:
长期的股票价格是lognormal分布 股票的收益是normal分布 calculate expected return:
54.2 计算股票的实现收益和历史波动率 使用几何收益(geometric return)计算 realized return
一个portfolio的资产收益是 5%,-4%,9%,6%
realized return=
54.3 描述BSM模型的假设 标的资产价格服从lognormal risk free rate是constant 标的资产的波动率是constant 市场是frictionless(无摩擦的) 标的资产没有现金流(dividend和coupon) 期权是欧式期权 54.4 使用BSM计算无分红的欧式期权 call option公式 :
=股价高于X的概率,行call权概率
=如果Long期货获得收益的加概率折算因子
=到期时卖出 1股的加概率PV
=到期时按照X价格买入 1股的加概率PV
put option公式 :
=股价低于X的概率,行put权概率
=如果short期货获得收益的加概率折算因子
=到期时按照X价格卖出 1股的加概率PV
=到期时买入 1股的加概率PV
计算和
所以就是使用股票价格lognormal分布公式来求股票价格从S到X的Z值,假设是
会使用和查表找
和
增加stock的CF会增加call的price,降低put的price
54.5 计算权证warrant的价值,识别使用权证估值的复杂性 warrant是一个权利可以让债券持有者按照签订的价格购买股票
warrant可以用separate call option的估值方法来定价
value of each warrant=
N=number of share outstanding
M=number of new warrant
54.6 定义隐含波动率,描述如何用BSM计算隐含波动率 股票的历史波动率不一定代表当前市场波动率,所以使用BSM公式和参数:
1. 股票价格,
2. 执行价格,
3. 无风险利率,
4. 到期时间
5. 期权价格
来计算implied volatility
54.7 解释分红如何影响美式期权的行权的 因为dividend会降低不行权价值,所以支付dividend可能导致美式call option提前行权:
1. option接近到期
2. larger dividend
行权条件:
54.8 使用BSM计算有分红的欧式期权 把BSM公式中的S替换成
55. Geek Letters 55.1 描述和评估裸(naked)期权和保护(covered)的期权的风险指标 naked position:卖call没有持有标的资产,如果资产上涨,损失会很大 covered position:卖call有持有标的资产,如果资产上涨,损失较小,但是资产下跌损失多 两个positions都不是hedged postion
55.2 如何对naked and covered option生成一个止损策略 stop-loss strategy objective:
持有 naked position,when out-of-the-money 持有 covered position, when in-the-money 55.3 描述对期权,远期,期货进行delta hedging delta: stock价格变动1单位,衍生品价格变动多少
option delta hedge:
call option delta: 0到1,S涨,涨
put option delta: -1到0,S涨,涨
对冲short call position= 买入 [Delta * (卖出call数量)]数量的stock(delta-neutral hedge)
forward delta hedge:
forward delta = 1
1单位forward用1单位stock offsetting(抵消)
futures delta hedge:
futures delta =
1单位forward用单位stock offsetting
55.4 计算一个option的delta 可以使用BSM公式里面的
来计算option的delta
根据S,X,,,T 计算出 查表得到 ,就是option的delta
55.5 描述delta hedging的dynamic aspect,区分dynamic hedging 和 hedge-and-forget hedging 当delta发生改变的时候,这时候portfolio不再被hedge, 所以要不断调整来构建一个delta-neutral position,这就是dynamic hedge
delta-neutral position特点:
是复杂的(sophisticate)对冲方法,要做到当security改变时,portfolio的变化最小 只对asset的小变化有效,如果asset变化大时需要rebalance(由于实际关系时曲线而不是直线) Dynamic hedge : adjusting the hedge on a frequently basis. 根据基差变化不断调整hedge
hedge-and-forget hedge :static hedge,hedge is initially set-up but never adjusted. 设定好了就不再调整
55.6 定义一个portfolio的delta 55.7 定义和描述 theta,gamma,vega and rho Theta, ,减少1个单位到期时间,option price减少多少,“time decay”
theta对call和put效果相同,随着时间流逝(到期时间缩短),option价值减少(因为时间越长,不确定性越多,option价值越高) theta在at the money时最明显(pronounced),每减少一单位到期时间,option价值减少最多(因为stock变化概率低,所以option减少价值多) European in the money put option可能会有正theta(因为时间减少市场担心股票价格会跌,所以put option价值会增加) Gamma,, delta变动1单位,option price变动多少,度量期权价格的曲率,图形和theta相反
Gamma可以用来对冲大的股价变动 Gamma neutral positon=/ 在把Gamma调整成neutral以后注意要买卖asset来调整delta Vega,stock波动率改变1单位,option price改变多少,
给定T,X,r,call和put的Vega相同
At the money Vega最高 Rho,, 改变1单位,option price改变多少
Rho对fixed income衍生品的影响比option衍生品大
in the money的Rho比out of the money高,在put和call上都是 55.8 解释如何实现和维持一个delta-neutral和gamma-neutral的头寸 使用公式/计算需要买或者卖多少option来达到gamma-neutral
=当前投资组合的gamma
=需要对冲的option的gamma 新增的option头寸数量乘以delta,来计算需要买卖多少标的资产达到delta-neutral 55.9 描述delta,theta,gamma和vega的关系 公式代表option和S的非线性回归
55.10 描述对冲活动如何在实践中发生,描述scenario analysis如何用来计算期权的期望gains and loss 在实践中管理一个delta-neutral的position,同时监控其他Greek的敏感性
通常基于给定资产的price和volatility,设计不同的情境来调整Greek参数,分析计算投资组合的gains and loss
55.11 描述如何用期权和股票指数期货构建portfolio insurance portfolio insurance由两者组合:
an underlying instrument 当市场跌时,cash or derivative that generate a floor value, 同时允许市场涨的收益 两种portfolio insurance:
long put option 根据需要的put option的delta来short相同delta的index future,并随时调整short的position