4.2 期权估值

53. Binomial Tree

53.1 用1步或者2步二叉树方法计算美式/欧式期权价值

  • European Option可以使用二叉树来计算,使用概率乘以期权期望的折现。

U=size of up move factor=

D=size of down move factor=

risk-neutral probability 计算

2步二叉树example

call, S=20, 14%,=4%,K=20

  1. 计算U和D
    • U=

    =1.15

    • D=1/U=0.87
  2. 计算涨跌概率

    =0.61(上涨概率)

    • =1-0.61=0.39(下跌概率)
  3. 画二叉树 
  4. 如果行权call的价值计算,并折现:
    • call=0.61 * 0.61 * (26.45-20) *

    =2.21

  5. 用PS=CK计算P:
    • put=2.21+20 *

    -20=0.67

  • comparable European Option可以使用 put-call parity来计算:

P+S=C+K

  • American option > 当intrinsic value大于第二步权期望收益的折现时,American option在第一步就会提前行权

53.2 描述在二叉树中如何捕获波动率

标准差越高,股票涨跌的离差(dispersion)就越高,因此在二叉树里评估each time period股票的价格时,就可以捕获波动率。

53.3 描述用二叉树计算的价值当时间增加的时候如何收敛converges

当每一个period被刻意拆解的很小时,二叉树这种离散(discrete)时间周期,就会收敛(converges)成连续时间周期

53.4 解释二叉树如何用来计算,有红利股票,股票指数,货币和期货

stock pay dividend q

stock indices 和有红利股票计算类似 option on currencies

futures 二叉树包含了在期货上的期权特征,由于期货几乎不要成本,在risk-neutral设定下:

54. The BSM Model

54.1 解释股票价格的lognormal属性,收益率的分布,并计算期望收益

BSM模型假设:

  • 长期的股票价格是lognormal分布
  • 股票的收益是normal分布
    • mean=
    • standard deviation=

calculate expected return:

  • expected value of =
  • expected annul return =

54.2 计算股票的实现收益和历史波动率

使用几何收益(geometric return)计算 realized return

一个portfolio的资产收益是 5%,-4%,9%,6% realized return=

54.3 描述BSM模型的假设

  1. 标的资产价格服从lognormal
  2. risk free rate是constant
  3. 标的资产的波动率是constant
  4. 市场是frictionless(无摩擦的)
  5. 标的资产没有现金流(dividend和coupon)
  6. 期权是欧式期权

54.4 使用BSM计算无分红的欧式期权

call option公式

=股价高于X的概率,行call权概率

=如果Long期货获得收益的加概率折算因子

=到期时卖出1股的加概率PV

=到期时按照X价格买入1股的加概率PV

put option公式

=股价低于X的概率,行put权概率

=如果short期货获得收益的加概率折算因子

=到期时按照X价格卖出1股的加概率PV

=到期时买入1股的加概率PV

计算和

所以就是使用股票价格lognormal分布公式来求股票价格从S到X的Z值,假设是

会使用和查表找

增加stock的CF会增加call的price,降低put的price

54.5 计算权证warrant的价值,识别使用权证估值的复杂性

warrant是一个权利可以让债券持有者按照签订的价格购买股票 warrant可以用separate call option的估值方法来定价

value of each warrant=

N=number of share outstanding M=number of new warrant

54.6 定义隐含波动率,描述如何用BSM计算隐含波动率

股票的历史波动率不一定代表当前市场波动率,所以使用BSM公式和参数: 1. 股票价格, 2. 执行价格, 3. 无风险利率, 4. 到期时间 5. 期权价格 来计算implied volatility

54.7 解释分红如何影响美式期权的行权的

因为dividend会降低不行权价值,所以支付dividend可能导致美式call option提前行权: 1. option接近到期 2. larger dividend

行权条件:

54.8 使用BSM计算有分红的欧式期权

把BSM公式中的S替换成

55. Geek Letters

55.1 描述和评估裸(naked)期权和保护(covered)的期权的风险指标

  • naked position:卖call没有持有标的资产,如果资产上涨,损失会很大
  • covered position:卖call有持有标的资产,如果资产上涨,损失较小,但是资产下跌损失多

两个positions都不是hedged postion

55.2 如何对naked and covered option生成一个止损策略

stop-loss strategy objective:

  • 持有 naked position,when out-of-the-money
  • 持有 covered position, when in-the-money

55.3 描述对期权,远期,期货进行delta hedging

delta: stock价格变动1单位,衍生品价格变动多少

option delta hedge:

call option delta: 0到1,S涨,涨 put option delta: -1到0,S涨,涨 对冲short call position= 买入 [Delta * (卖出call数量)]数量的stock(delta-neutral hedge)

forward delta hedge:

forward delta = 1 1单位forward用1单位stock offsetting(抵消)

futures delta hedge:

futures delta = 1单位forward用单位stock offsetting

55.4 计算一个option的delta

可以使用BSM公式里面的

来计算option的delta

  1. 根据S,X,,,T 计算出
  2. 查表得到

,就是option的delta

55.5 描述delta hedging的dynamic aspect,区分dynamic hedging 和 hedge-and-forget hedging

当delta发生改变的时候,这时候portfolio不再被hedge, 所以要不断调整来构建一个delta-neutral position,这就是dynamic hedge

delta-neutral position特点:

  1. 是复杂的(sophisticate)对冲方法,要做到当security改变时,portfolio的变化最小
  2. 只对asset的小变化有效,如果asset变化大时需要rebalance(由于实际关系时曲线而不是直线)

Dynamic hedge: adjusting the hedge on a frequently basis. 根据基差变化不断调整hedge hedge-and-forget hedge:static hedge,hedge is initially set-up but never adjusted. 设定好了就不再调整

55.6 定义一个portfolio的delta

55.7 定义和描述 theta,gamma,vega and rho

  1. Theta, ,减少1个单位到期时间,option price减少多少,“time decay”
    • theta对call和put效果相同,随着时间流逝(到期时间缩短),option价值减少(因为时间越长,不确定性越多,option价值越高)
    • theta在at the money时最明显(pronounced),每减少一单位到期时间,option价值减少最多(因为stock变化概率低,所以option减少价值多)
    • European in the money put option可能会有正theta(因为时间减少市场担心股票价格会跌,所以put option价值会增加)
  2. Gamma,, delta变动1单位,option price变动多少,度量期权价格的曲率,图形和theta相反
    • Gamma可以用来对冲大的股价变动
    • Gamma neutral positon=/
    • 在把Gamma调整成neutral以后注意要买卖asset来调整delta
  3. Vega,stock波动率改变1单位,option price改变多少, 给定T,X,r,call和put的Vega相同 At the money Vega最高
  4. Rho,, 改变1单位,option price改变多少 Rho对fixed income衍生品的影响比option衍生品大 in the money的Rho比out of the money高,在put和call上都是

55.8 解释如何实现和维持一个delta-neutral和gamma-neutral的头寸

  1. 使用公式/计算需要买或者卖多少option来达到gamma-neutral =当前投资组合的gamma =需要对冲的option的gamma
  2. 新增的option头寸数量乘以delta,来计算需要买卖多少标的资产达到delta-neutral

55.9 描述delta,theta,gamma和vega的关系

公式代表option和S的非线性回归

55.10 描述对冲活动如何在实践中发生,描述scenario analysis如何用来计算期权的期望gains and loss

在实践中管理一个delta-neutral的position,同时监控其他Greek的敏感性

通常基于给定资产的price和volatility,设计不同的情境来调整Greek参数,分析计算投资组合的gains and loss

55.11 描述如何用期权和股票指数期货构建portfolio insurance

portfolio insurance由两者组合:

  1. an underlying instrument
  2. 当市场跌时,cash or derivative that generate a floor value, 同时允许市场涨的收益

两种portfolio insurance:

  1. long put option
  2. 根据需要的put option的delta来short相同delta的index future,并随时调整short的position

本文分享自微信公众号 - 馔玉阁(hejian_zyg),作者:和坚

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原始发表时间:2016-10-27

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