常见向量范数和矩阵范数及其MATLAB实现
常见向量范数和矩阵范数及其MATLAB实现
1、向量范数
1-范数：
，即向量元素绝对值之和，matlab调用函数norm(x, 1) 。
2-范数：
，Euclid范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方，matlab调用函数norm(x, 2)。
∞-范数：
，即所有向量元素绝对值中的最大值，matlab调用函数norm(x, inf)。
-∞-范数：
，即所有向量元素绝对值中的最小值，matlab调用函数norm(x, -inf)。
p-范数：
，即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂，matlab调用函数norm(x, p)。
2、矩阵范数
1-范数：
， 列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, 1)。
2-范数：
，谱范数，即A'A矩阵的最大特征值的开平方。matlab调用函数norm(x, 2)。
∞-范数：
，行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, inf)。
F-范数：
，Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方，matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。
下面是解释和理解。
1-范数（列和范数）
将矩阵沿列方向取绝对值求和，然后擢选出数值最大的那个值作为1-范数。 比如：
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> norm_1 = norm(A,1)
norm_1 =
18第一列求和结果为：|1|+|4|+|7|=12 第二列求和结果为：|2|+|5|+|8|=15 第三列求和结果为：|3|+|6|+|9|=18 里面最大的就是18，因此矩阵A的列和范数为18。
2-范数（最大特征值开方）
这一部分涉及到的我不懂的概念比较多，接下来一一说明。
2-1 共轭转置矩阵
指的是A的共轭转置矩阵，也有这个写法。如果A里面全是实数，那效果就与无二；如果A里面也有复数，则是先对A取共轭（各项实部不变，虚部取相反数），然后再转置，比如：
A =
1.0000 + 0.0000i 0.0000 - 2.0000i
3.0000 + 0.0000i 0.0000 - 4.0000i
>> A'
ans =
1.0000 + 0.0000i 3.0000 + 0.0000i
0.0000 + 2.0000i 0.0000 + 4.0000i在matlab中A’的意思就是求共轭转置矩阵。
2-2 特征值 矩阵A的特征值被定义为： 其中被称为“矩阵A的特征向量”，λ被称为“矩阵A的特征值”。 在matlab中求解矩阵A的特征值方法如下：
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> [V,D] = eig(A)
V =
-0.2320 -0.7858 0.4082
-0.5253 -0.0868 -0.8165
-0.8187 0.6123 0.4082
D =
16.1168 0 0
0 -1.1168 0
0 0 -0.0000矩阵V的每一列都是一个特征向量，D中对应列中的值即与该特征向量相匹配的特征值。以上例V、D第一列为例，此时特征值λ=16.1168，特征向量，用matlab作验证如下：
>> A = [1,2,3;4,5,6;7,8,9]
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> v = [-0.2320,-0.5253,-0.8187]'
v =
-0.2320
-0.5253
-0.8187
>> lambda = 16.1168
lambda =
16.1168
>> A * v
ans =
-3.7387
-8.4667
-13.1947
>> lambda * v
ans =
-3.7391
-8.4662
-13.1948可知满足。
2-3 矩阵的2-范数
矩阵的2-范数即对矩阵最大特征值开方，如下：
>> [V,D] = eig(A'*A)
V =
-0.4082 -0.7767 0.4797
0.8165 -0.0757 0.5724
-0.4082 0.6253 0.6651
D =
0.0000 0 0
0 1.1414 0
0 0 283.8586
>> sqrt(283.8586)
ans =
16.8481（这里最大特征值为283.8586）
当然，matlab中也有更直接的计算矩阵2-范数的方法，如下：
>> norm_2 = norm(A,2)
norm_2 =
16.8481两种方法计算出的结果是一样的。
∞-范数（行和范数）
和1-范数（列和范数）类似，这里是沿行方向取绝对值求和，将最大的那个值作为矩阵的∞-范数。matlab代码如下：
>> A
A =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> norm(A,inf)
ans =
24第一行求和结果为：|1|+|2|+|3|=6 第二行求和结果为：|4|+|5|+|6|=15 第三行求和结果为：|7|+|8|+|9|=24 里面最大的就是24，因此矩阵A的行和范数为24。