简单易学的机器学习算法——马尔可夫链蒙特卡罗方法MCMC

对于一般的分布的采样，在很多的编程语言中都有实现，如最基本的满足均匀分布的随机数，但是对于复杂的分布，要想对其采样，却没有实现好的函数，在这里，可以使用马尔可夫链蒙特卡罗(Markov Chain Monte Carlo, MCMC)方法，其中Metropolis-Hastings采样和Gibbs采样是MCMC中使用较为广泛的两种形式。

MCMC的基础理论为马尔可夫过程，在MCMC算法中，为了在一个指定的分布上采样，根据马尔可夫过程，首先从任一状态出发，模拟马尔可夫过程，不断进行状态转移，最终收敛到平稳分布。

一、马尔可夫链

1、马尔可夫链

设XtX_t表示随机变量XX在离散时间tt时刻的取值。若该变量随时间变化的转移概率仅仅依赖于它的当前取值，即

P(Xt+1=sj∣X0=s0,X1=s1,⋯,Xt=si)=P(Xt+1=sj∣Xt=si)

P\left ( X_{t+1}=s_j\mid X_0=s_{0},X_1=s_{1}, \cdots ,X_t=s_i \right )=P\left ( X_{t+1}=s_j\mid X_t=s_i \right )

也就是说状态转移的概率只依赖于前一个状态。称这个变量为马尔可夫变量，其中，s0,s1,⋯,si,sj∈Ωs_0,s_1,\cdots ,s_i,s_j\in \Omega 为随机变量XX可能的状态。这个性质称为马尔可夫性质，具有马尔可夫性质的随机过程称为马尔可夫过程。

马尔可夫链指的是在一段时间内随机变量XX的取值序列(X0,X1,⋯,Xm)\left ( X_0,X_1,\cdots ,X_m \right )，它们满足如上的马尔可夫性质。

2、转移概率

马尔可夫链是通过对应的转移概率定义的，转移概率指的是随机变量从一个时刻到下一个时刻，从状态sis_i转移到另一个状态sjs_j的概率，即：

P(i→j):=Pi,j=P(Xt+1=sj∣Xt=si)

P\left ( i\rightarrow j \right ):=P_{i,j}=P\left ( X_{t+1}=s_j\mid X_t=s_i \right )

记π(t)k\pi _k^{\left ( t \right )}表示随机变量XX在时刻tt的取值为sks_k的概率，则随机变量XX在时刻t+1t+1的取值为sis_i的概率为：

π(t+1)i=P(Xt+1=si)=∑kP(Xt+1=si∣Xt=sk)⋅P(Xt=sk)=∑kPk,i⋅π(t)k

\begin{align*} \pi _i^{\left ( t+1 \right )} &=P\left ( X_{t+1}=s_i \right ) \\ &= \sum_{k}P\left ( X_{t+1}=s_i\mid X_{t}=s_k \right )\cdot P\left ( X_{t}=s_k \right )\\ &= \sum_{k}P_{k,i}\cdot \pi _k^{\left ( t \right )} \end{align*}

假设状态的数目为nn，则有：

(π(t+1)1,⋯,π(t+1)n)=(π(t)1,⋯,π(t)n)⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢P1,1P2,1⋮Pn,1P1,2P2,2⋮Pn,2⋯⋯⋯P1,nP2,n⋮Pn,n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥

\left ( \pi _1^{\left ( t+1 \right )},\cdots ,\pi _n^{\left ( t+1 \right )} \right )=\left ( \pi _1^{\left ( t \right )},\cdots ,\pi _n^{\left ( t \right )} \right )\begin{bmatrix} P_{1,1} & P_{1,2} & \cdots & P_{1,n}\\ P_{2,1} & P_{2,2} & \cdots & P_{2,n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ P_{n,1} & P_{n,2} & \cdots & P_{n,n} \end{bmatrix}

3、马尔可夫链的平稳分布

对于马尔可夫链，需要注意以下的两点：

• 1、周期性：即经过有限次的状态转移，又回到了自身；
• 2、不可约：即两个状态之间相互转移；

如果一个马尔可夫过程既没有周期性，又不可约，则称为各态遍历的。

对于一个各态遍历的马尔可夫过程，无论初始值π(0)\pi ^{\left ( 0 \right )}取何值，随着转移次数的增多，随机变量的取值分布最终都会收敛到唯一的平稳分布π∗\pi ^{\ast }，即：

limt→∞π(0)Pt=π∗

\underset{t\rightarrow \infty }{lim}\pi ^{\left ( 0 \right )}\mathbf{P}^t=\pi ^{\ast }

且这个平稳分布π∗\pi ^{\ast }满足：

π∗P=π∗

\pi ^{\ast }\mathbf{P}=\pi ^{\ast }

其中，P=(pi,j)n×n\mathbf{P}=\left ( p_{i,j} \right )_{n\times n}为转移概率矩阵。

二、马尔可夫链蒙特卡罗方法

1、基本思想

对于一个给定的概率分布P(X)P\left (X \right )，若是要得到其样本，通过上述的马尔可夫链的概念，我们可以构造一个转移矩阵为P\mathbf{P}的马尔可夫链，使得该马尔可夫链的平稳分布为P(X)P\left (X \right )，这样，无论其初始状态为何值，假设记为x0x_0，那么随着马尔科夫过程的转移，得到了一系列的状态值，如：x0,x1,x2,⋯,xn,xn+1,⋯,x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_n,x_{n+1},\cdots ,，如果这个马尔可夫过程在第nn步时已经收敛，那么分布P(X)P\left (X \right )的样本即为xn,xn+1,⋯x_n,x_{n+1},\cdots 。

2、细致平稳条件

对于一个各态遍历的马尔可夫过程，若其转移矩阵为P\mathbf{P}，分布为π(x)\pi \left ( x \right )，若满足：

π(i)Pi,j=π(j)Pj,i

\pi \left ( i \right )P_{i,j}=\pi \left ( j \right )P_{j,i}

则π(x)\pi \left ( x \right )是马尔可夫链的平稳分布，上式称为细致平稳条件。

3、Metropolis采样算法

Metropolis采样算法是最基本的基于MCMC的采样算法。

3.1、Metropolis采样算法的基本原理

假设需要从目标概率密度函数p(θ)p\left ( \theta \right )中进行采样，同时，θ\theta 满足−∞<θ<∞-\infty <\theta <\infty 。Metropolis采样算法根据马尔可夫链去生成一个序列：

θ(1)→θ(2)→⋯θ(t)→

\theta ^{\left ( 1 \right )}\rightarrow \theta ^{\left ( 2 \right )}\rightarrow \cdots \theta ^{\left (t \right )}\rightarrow

其中，θ(t) \theta ^{\left (t \right )}表示的是马尔可夫链在第tt代时的状态。

在Metropolis采样算法的过程中，首先初始化状态值θ(1)\theta ^{\left (1 \right )}，然后利用一个已知的分布q(θ∣θ(t−1))q\left ( \theta \mid \theta ^{\left ( t-1 \right )} \right )生成一个新的候选状态θ(∗)\theta ^{\left (\ast \right )}，随后根据一定的概率选择接受这个新值，或者拒绝这个新值，在Metropolis采样算法中，概率为：

α=min⎛⎝⎜1,p(θ(∗))p(θ(t−1))⎞⎠⎟

\alpha =min\: \left ( 1,\; \frac{p\left ( \theta ^{\left ( \ast \right )} \right )}{p\left ( \theta ^{\left ( t-1 \right )} \right )} \right )

这样的过程一直持续到采样过程的收敛，当收敛以后，样本θ(t)\theta ^{\left (t \right )}即为目标分布p(θ)p\left ( \theta \right )中的样本。

3.2、Metropolis采样算法的流程

基于以上的分析，可以总结出如下的Metropolis采样算法的流程：

• 初始化时间t=1t=1
• 设置uu的值，并初始化初始状态θ(t)=u\theta ^{\left (t \right )}=u
• 重复一下的过程：
  • 令t=t+1t=t+1
  • 从已知分布q(θ∣θ(t−1))q\left ( \theta \mid \theta ^{\left ( t-1 \right )} \right )中生成一个候选状态θ(∗)\theta ^{\left (\ast \right )}
  • 计算接受的概率：α=min(1,p(θ(∗))p(θ(t−1)))\alpha =min\: \left ( 1,\; \frac{p\left ( \theta ^{\left ( \ast \right )} \right )}{p\left ( \theta ^{\left ( t-1 \right )} \right )} \right )
  • 从均匀分布Uniform(0,1)Uniform\left ( 0, 1 \right )生成一个随机值aa
  • 如果a⩽αa\leqslant \alpha ，接受新生成的值：θ(t)=θ(∗)\theta ^{\left (t \right )}=\theta ^{\left (\ast \right )}；否则：θ(t)=θ(t−1)\theta ^{\left (t \right )}=\theta ^{\left (t-1 \right )}
• 直到t=Tt=T

3.3、Metropolis算法的解释

要证明Metropolis采样算法的正确性，最重要的是要证明构造的马尔可夫过程满足如上的细致平稳条件，即：

π(i)Pi,j=π(j)Pj,i

\pi \left ( i \right )P_{i,j}=\pi \left ( j \right )P_{j,i}

对于上面所述的过程，分布为p(θ)p\left ( \theta \right )，从状态ii转移到状态jj的转移概率为：

Pi,j=αi,j⋅Qi,j

P_{i,j} =\alpha _{i,j}\cdot Q_{i,j}

其中，Qi,jQ_{i,j}为上述已知的分布。

对于选择该已知的分布，在Metropolis采样算法中，要求该已知的分布必须是对称的，即Qi,j=Qj,iQ_{i,j}=Q_{j,i}，即 q(θ=θ(t)∣θ(t−1))=q(θ=θ(t−1)∣θ(t)) q\left ( \theta =\theta ^{\left ( t \right )}\mid \theta ^{\left ( t-1 \right )} \right )=q\left ( \theta =\theta ^{\left ( t-1 \right )}\mid \theta ^{\left ( t \right )} \right ) 常用的符合对称的分布主要有：正态分布，柯西分布以及均匀分布等。

接下来，需要证明在Metropolis采样算法中构造的马尔可夫链满足细致平稳条件。

p(θ(i))Pi,j=p(θ(i))⋅αi,j⋅Qi,j=p(θ(i))⋅min⎧⎩⎨⎪⎪1,p(θ(j))p(θ(i))⎫⎭⎬⎪⎪⋅Qi,j=min{p(θ(i))Qi,j,p(θ(j))Qi,j}=p(θ(j))⋅min⎧⎩⎨⎪⎪p(θ(i))p(θ(j)),1⎫⎭⎬⎪⎪⋅Qj,i=p(θ(j))⋅αj,i⋅Qj,i=p(θ(j))Pj,i

\begin{align*} p\left ( \theta ^{\left ( i \right )} \right )P_{i,j} &=p\left ( \theta ^{\left ( i \right )} \right )\cdot \alpha _{i,j}\cdot Q_{i,j} \\ &= p\left ( \theta ^{\left ( i \right )} \right )\cdot min\; \left \{ 1,\frac{p\left ( \theta ^{\left ( j \right )} \right )}{p\left ( \theta ^{\left ( i \right )} \right )} \right \}\cdot Q_{i,j}\\ &=min\; \left \{ p\left ( \theta ^{\left ( i \right )} \right )Q_{i,j},p\left ( \theta ^{\left ( j \right )} \right )Q_{i,j} \right \}\\ &=p\left ( \theta ^{\left ( j \right )} \right )\cdot min\; \left \{ \frac{p\left ( \theta ^{\left ( i \right )} \right )}{p\left ( \theta ^{\left ( j \right )} \right )}, 1 \right \}\cdot Q_{j,i}\\ &=p\left ( \theta ^{\left ( j \right )} \right )\cdot \alpha _{j,i}\cdot Q_{j,i}\\ &=p\left ( \theta ^{\left ( j \right )} \right )P_{j,i} \end{align*}

因此，通过以上的方法构造出来的马尔可夫链是满足细致平稳条件的。

3.4、实验

假设需要从柯西分布中采样数据，我们利用Metropolis采样算法来生成样本，其中，柯西分布的概率密度函数为：

f(θ)=1π(1+θ2)

f\left ( \theta \right )=\frac{1}{\pi \left ( 1+\theta ^2 \right )}

那么，根据上述的Metropolis采样算法的流程，接受概率α\alpha 的值为：

α=min⎛⎝⎜⎜1,1+[θ(t)]21+[θ(∗)]2⎞⎠⎟⎟

\alpha =min\; \left ( 1,\frac{1+\left [ \theta ^{\left ( t \right )} \right ]^2}{1+\left [ \theta ^{\left ( \ast \right )} \right ]^2} \right )

代码如下：

'''
Date:20160629
@author: zhaozhiyong
'''
import random
from scipy.stats import norm
import matplotlib.pyplot as plt

def cauchy(theta):
    y = 1.0 / (1.0 + theta ** 2)
    return y

T = 5000
sigma = 1
thetamin = -30
thetamax = 30
theta = [0.0] * (T+1)
theta[0] = random.uniform(thetamin, thetamax)

t = 0
while t < T:
    t = t + 1
    theta_star = norm.rvs(loc=theta[t - 1], scale=sigma, size=1, random_state=None)
    #print theta_star
    alpha = min(1, (cauchy(theta_star[0]) / cauchy(theta[t - 1])))

    u = random.uniform(0, 1)
    if u <= alpha:
        theta[t] = theta_star[0]
    else:
        theta[t] = theta[t - 1]

ax1 = plt.subplot(211)
ax2 = plt.subplot(212) 
plt.sca(ax1)
plt.ylim(thetamin, thetamax)
plt.plot(range(T+1), theta, 'g-')
plt.sca(ax2)
num_bins = 50
plt.hist(theta, num_bins, normed=1, facecolor='red', alpha=0.5)
plt.show()

实验的结果：

这里写图片描述

对于Metropolis采样算法，其要求选定的分布必须是对称的，为了弥补这样的一个缺陷，在下一篇中，介绍一下Metropolis-Hastings采样算法，其是Metropolis采样算法的推广形式。

参考文献

• 1、马尔可夫链蒙特卡罗算法
• 2、受限玻尔兹曼机（RBM）学习笔记（一）预备知识
• 3、LDA数学八卦