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线性代数--MIT18.06(三)

3. 矩阵乘法和求解逆矩阵

3.1 课程内容:理解矩阵乘法和求解逆矩阵

3.1.1 矩阵乘法的四种方式

首先我们定义矩阵乘法 AB = C

  • 基本方法(行乘以列) 我们知道,矩阵 C 的 ( i, j ) 元为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的各元素相乘之和,即 A 的第 i 行与 B 的第 j 列点乘所得到的结果
  • 行的角度 正如第一讲所说,从行的角度来看,即 C 的各行为 B 的各行的线性组合构成,B 的各行的线性组合的系数为 A 的行的各个分量,即
  • 列的角度 正如第一讲所说,从列的角度来看,即 C 的各列为 A 的各列的线性组合构成,A 的各列的线性组合的系数为 B 的列的各个分量,即
  • 列乘以行的角度 由于列向量乘以行向量得到的是一个矩阵,因此从列乘以行的角度来看,矩阵 A 乘以 B 得到的是 n 个矩阵之和,其中第 i 个矩阵由 A 的第 i 列乘以 B 的第 i 行得到。
  • 块乘 矩阵乘法同样可以分块来乘,只要分块的大小能够使乘法有意义即可(相乘的分块的大小要相互匹配--可乘)

3.1.2 Gauss-Jordan法求逆矩阵

在第一讲的最后我们提到,如果系数矩阵 A 的逆矩阵

存在的话, Ax = b 的解就可以由

得到 :

那么如何得到

? 我们知道

的形式,只不过 x 为 A 的逆矩阵

,我们依然可以使用矩阵消元的形式来求解,只不过要比我们之前提到的矩阵消元多做一些消元而已,这就是Gauss-Jordan法。

以矩阵 A 为例

首先构建增广矩阵,之后逐步消元即可

上述过程我们有一个重要假设,那就是

存在,那么什么情况下它才存在呢?

  • 直观的解释 从上消元过程的最后一步我们知道只有当 系数矩阵A 能够消元到单位阵 I ,

存在,也就是说系数矩阵的各行或各列不能是线性相关的(某一 行/列 是其他 行/列 的线性组合)

  • Ax = 0 没有非零解 当 Ax=0 有非零解的时候,可以判断

不存在,为什么呢? 很简单的推理那就是,当 Ax=0 有非零解的时候,假设

存在,那么在等式两边都左乘

,即可得到

,这与我们的前提假设存在非零解所矛盾,因此

不存在。

3.1.3 AB的逆,A的转置的逆

3.2 矩阵乘法习题课

2011年练习题

问:当 a,b 满足什么条件下矩阵 A 存在逆矩阵,并求解该逆矩阵。

本文分享自微信公众号 - 零维领域(lingweilingyu),作者:fireWang

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原始发表时间:2019-01-16

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