【数学家】牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼兹公式（Newton-Leibniz formula），通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系。

牛顿-莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间 [ a，b ] 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[ a，b ]上的增量。牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年,莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式。因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿-莱布尼茨公式。

牛顿-莱布尼茨公式给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算过程。

定义

如果函数

在区间

上连续，并且存在原函数

，

则

弱化条件

如果函数

区间

上有定义，并且满足以下条件：

（1）在区间

上可积；

（2）在区间

上存在原函数

；

则

公式推导

推导一

定义一个变上限积分函数

，让函数

获得增量

，则对应的函数增量

根据积分中值定理可得，

，（ξ在x与x+Δx之间）

，

所以

，

因为

，所以

，

即

所以

即

证毕。

推导二

因为函数

在区间

上可积，任取区间

的分割

在区间

上任取一点

，则有

其次，对于分割

，有

在区间

上对函数

应用拉格朗日中值定理得

其中

因此有

证毕。

定理推广

二重积分形式

设函数

在矩形区域

上连续，如果存在一个二元函数

，使得

，

则二重积分

曲线积分形式

设D为单连通区域，

与格林公式和高斯公式的联系

与

在区域D上有连续的一阶偏导数，若存在一个二元函数

，使得

在区域D中任意取两个点

，则对连接

的任意一条光滑曲线L，

都有

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