算法原理系列：2-3查找树

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2-3查找树

第一次接触它是在刷数据结构那本书时，有它的介绍。而那时候只是单纯的理解它的节点是如何分裂，以及整个构建过程，并不清楚它的实际用处，所以看了也就忘了。而当看完《算法》查找章节时，顿时有种顿悟，喔，原来如此啊。所以，提出来的这些有趣的结构千万不能割裂来看，它的演变如此诱人，细节值得品味。

结构缘由

首先，搞清楚2-3查找树为什么会出来，它要解决什么样的问题？假设我们对它的基本已经有所了解了。先给它来个简单的定义：

2-3查找树：

• 一种保持有序结构的查找树。
• 可以维持动态平衡的有序查找树。

从上述定义就可以看出，它到底是为了解决什么问题，在上一篇文章中，介绍了【查找】的演变过程，详细请参看博文这里。其中最后优化到了BST这种树的结构。但我们都知道BST它对数据的输入是敏感的，如最坏情况下，每次put()的key是有序的，那么构造出来的BST树，就相当于一个链表，那么对于每个元素的查找，它的性能就相当糟糕。而2-3树就是为了规避上述问题而设计发明出来的模型。现在请思考该如何设计它呢？

这里我们从BST遇到的实际问题出发，提出设计指标，再去思考利用些潜在的性质来构建2-3树。这部分内容，没有什么理论根据，而是我自己尝试去抓些字典的性质来构建，而2-3树的诞生过程并非真的如此，所以仅供参考。

构建2-3树

字典的两个主要操作为：查找和插入。而在前面一篇文章说到，作为有序表，查找性能和插入性能最理想的状态为O(lgn)O(\lg n)，这点可以说明，BST作为树形结构，已经完全符合字典的设计了，而如果从一个全新的结构去构建字典显然已经没有多大的必要了。

BST最大的问题在于，它对输入敏感，针对有序的插入，它构建出来的结构相当于是链表。为什么会出现这种情况？

• 作为有序插入，每当有新节点加入时，树没有选择【节点去向】的权力。（这好像是构建有序树的特质，树也无力改变，真惨！）
• 树失去了分配【节点去向】的权力，自然就没办法动态改变它的高度。（出现极端情况的原因）

那么你会问了，难道就不能当输入到一定量时，发现树的深度太深，直接全局调整不行么？有了全局信息，不就能调控，分配每个节点了么。的确，我们要引出以下原因：

• 调控可以，但为了拿到这些全局信息，我们需要遍历整个BST，而此时BST相当于链表，遍历一次的代价已经高于查找的效率，何必呢。
• 在插入时动态调整是最佳的，而当树已经生成时，再去做树的大调整，显然实际有点难以操作。（这两条的认识都比较感性）

综上，字典key的有序性影响了【节点去向】，树失去了【分配权】，其次结构随插入时，树的【动态调整】优于【全局调整】。所以，我们需要设计一种结构能够符合：

• 拥有分配权
• 可以动态调整

指标提出来了，但真的要设计出这样的结构的确不是一般人能做的，好在，这世界有太多的大牛了，我们可以参考人家的思路。

分配权

为什么BST会失去分配权力？因为它没有可以权衡的信息，在BST中，每个节点只能存储了一个key，每当有新的节点插入时，进行比较后，就自动选择路径到它的子树中去了，它无法停留。节点的去向我们是无法改变的，已由有序性决定，但我们是否可以决定它的【去】和【留】，它到这节点就一定要构建新的节点？不能停留在旧的节点上么？

从宏观的角度来看这件事情的话，如果我么能做到key值插入节点的【停留】，是否能够利用它来做树结构调整呢？答案呼之欲出！

我就不卖关子了，直接给出2-3树的其中一个基本定义：

一棵2-3查找树或为一颗空树，或由以下节点组成：

• 2-节点：含有一个键和两条链接，左链接指向的2-3树中的键都小于该节点，右链接指向的2-3树中的键都大于该节点。
• 3-节点：含有两个键和三条链接，左链接指向的2-3树中的键都小于该节点，中链接指向的2-3树中的键都位于该节点的两个键之间，右链接指向的2-3树中的键都大于该节点。

！！！传统的树定义即为2-节点，但2-3树查找树的定义多了个3-节点，而3-节点，也就是为了让节点能够停留，而设计出来的新结构，它具有缓存能力？哈哈，可以这么理解。意思就是说，现在树多了一条权力，不再是节点说了算，你不是老大！树可以选择我把你【放在这】还是【找你的子树去】。对树来说是件好事，起码可以分配你了吧！所以分配这件事需要资源累积。

数据结构有了，我们先来看看它的查找，暂且忽略它是怎么构建的。我们只需要知道两个事实，每个节点最多可以存储两个键，三个分叉。比较选择子树和BST是一样的，对每个节点比较，然后选择合适的子树，进行下一步的递归比较。

左图是命中情况，右图是未命中，跟着图一步步走，就能理解整个查找过程了，这里我就不废话了。

动态平衡

要知道什么是动态平衡，就必须知道什么是平衡，这也是我第一次思考平衡这个概念，我们就拿树中对平衡的定义，粗略解释下。

树的平衡： 任何节点的左子树和右子树之间的高度差不能超过1。

所以很明显（a）图是平衡的，而（b）图是不平衡的。其实还要思考一个问题，平衡这个概念为何而出？定义树的平衡有它的必要性么？很显然，一个完全不平衡的树，在做查找时，它就是线性级别的性能，而平衡的二叉树，同样的数据量，但有效利用了平衡性，它的查找性能则能降到对数级别，这些都可以在数学上证明，此处只做感性认识。

那什么是动态平衡呢？定义如下：

树的动态平衡： 在对树进行插入操作时，每个动态的状态都能满足静态的平衡条件。

动态平衡是时时刻刻的，在新数据插入前，它是平衡的，而一旦当数据插入导致树结构不平衡时则立马进行调整。这思想很重要，因为后续的平衡二叉树算法都是基于这个原则实现的。原因也说了，如果不去时刻维护，要获得全局信息代价高昂且全局调整难度大于局部调整。

有上述性质，我们不难判断BST不是一个能够自平衡的结构，在最坏情况下它的缺陷很明显，对于有序key的插入，树的深度+1。那么问题来了，假设我现在要插入三个有序的key值如A E S。

BST的做法已经很明显了，生成如下结构A -> E -> S。我们来看看2-3树，刚才定义了3节点，我们就尝试性的让最开始的两个节点停留在根节点，于是有如下所示：

很明显，在插入第三个节点时，我们就只剩下一个选择了，让它去子树上找位置去，这意味着它和BST的插入本质上是一样的，并没有利用缓存的能力。但其实这缓存有个很好的性质，它有了两个节点的信息（大于1节点的局部信息），可以对三个key值在插入时刻进行比较，而一旦能达到这能力，此树就可以做自我调整了。如：我找三个树的中间值，把它变成三个节点的BST树！相比于直接把下一节点插入到子树中去，它利用了两个元素的信息做了些调整，而调整后的树，是个平衡的二叉树。

所以接下来的事情，就是当有更多元素插入时，如何让这个2-3树在做调整时，时刻保持动态平衡。唉，令人遗憾的是这想法直接就由上面那种最简单的情况得到了，如上，我们没理由把节点往下插。用个形象的比喻，树根在生长时，有它的随意性，因为扎根没给它任何限制。而现在我们做了一件可怕的事情，我们在树根生长的土壤中给它加了一层隔板，限制它的向下发展，而不去约束它的向上势头，但我们都知道，不管向上怎么发展，它始终是头部为一个根节点，而底部为大量叶子节点的终极形态。

是不是很形象，所以2-3树就形成了一个基本插入原则，每当有新的元素插入时，追根溯源到最底层（也就是那层隔板），当有存放它的位置时，2-节点还尚有一个存储空间，它就存放。而当没有存放位置时，3-节点都被塞满了，那它开始【分裂】，分裂操作是不能破环【不准向下插入】原则的，所以它只能向上影响【父结点】。

所以有了上述原则，也就有了书中的对一些插入情况的讨论。

1. 向一棵只含有一个3-节点的树中插入新键。（树的初始态）
2. 向一个父节点为2-节点的3-节点中插入新键。（子树的分裂1）
3. 向一个父节点为3-节点的3-节点中插入新建。（子树的分类2）
4. 分解根节点。（树的向上生长态）

在前文中，我们已经图解了树的初始态，此处就不在解释了。操作2和操作3是在子树中最基本的两个操作，它们唯一的区别在于父结点一种是【2节点状态】而操作3的父结点是【3节点状态】。

父节点：2-节点，子节点：3-节点

很明显，元素一定是先沉底的，此处元素沉底在最左边，但由于超过了3-节点的存储能力，所以它必须分裂，不能向下分裂，所以只能往上了，影响它的父节点，但父节点可以再容纳一个元素，所以只需要把X元素放入父节点即可。

父节点：3-节点，子节点：3-节点

此处和操作2唯一的区别在于，子节点分裂后，把一个元素加入到了它的父节点，但也超过了父节点的存储能力，所以还要继续向上分裂，直到有容下它的父节点。它和操作2本质上是一回事，但是为了表示分裂的传递性，所以被拎出来重点讨论了下。

接着就剩下最后一个问题了，上述两操作是不会影响树的深度的，不信你自己模拟操作一遍，而真正影响树的深度在于操作4，只有当根节点为3-节点时，此时有元素插入沉底后，不断向上裂变，很不幸如果影响到根节点，那么就执行操作4，我冒个头出来，哈哈，是不是形象。

我们再来看看一个23树的整体构建轨迹加深理解。

好了，整体的23树的构建已经阐述完毕了，原本想看看书上是怎么实现的，让我继续加深理解，结果却在书中找到这样一段话，也是让我很无语，但它所提出的思想值得学习。

《算法》

但是，我们和真正实现还有一段距离。尽管我们可以用不同的数据类型表示2-节点和3-节点并写出变换所需的代码，但用这种直白的表示方法实现大多数操作并不方便，因为需要处理的情况实在太多。我们需要维护两种不同类型的节点，将被查找的键和节点中的每个键进行比较，将链接和其他信息从一种节点复制到另一种节点，将节点从一种数据类型转换到另一种数据类型，等等。实现这些不仅需要大量的代码，而且它们所产生的额外开销可能会使算法比标准的二叉查找树更慢。平衡一棵树的初衷是为了消除最坏情况，但我们希望这种保障所需的代码能够越来越好。幸运的是你将看到，我们只需要一点点代价就能用一种统一的方式完成所有变换。

欲言又止，但很有爱，起码它有进一步的实现版本了，具体是什么，我也卖个关子，下回分解。

参考文献

1. Robert Sedgewick. 算法 第四版M. 北京：人民邮电出版社，2012.10
2. Cormen. 算法导论M.北京：机械工业出版社，2013
3. 算法原理系列：查找