用Numpy搭建神经网络第二期：梯度下降法的实现

梯度下降：迭代求解模型参数值

最简单的神经网络包含三个要素，输入层，隐藏层以及输出层。关于其工作机理其完全可以类比成一个元函数：Y=W*X+b。即输入数据X，得到输出Y。

如何评估一个函数的好坏，专业一点就是拟合度怎么样？最简单的方法是衡量真实值和输出值之间的差距，两者的差距约小代表函数的表达能力越强。

这个差距的衡量也叫损失函数。显然，损失函数取值越小，原函数表达能力越强。

那么参数取何值时函数有最小值？一般求导能够得到局部最小值（在极值点处取）。而梯度下降就是求函数有最小值的参数的一种方法。

梯度下降数学表达式

比如对于线性回归，假设函数表示为hθ（x1，x2…xn）=θ0+θ1x1+..+θnxn，其中wi(i=0，1，2...n）为模型参数，xi（i=0，1，2...n）为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征x0=1，这样h(xo，x1，.…xn)=θ0x0+θ1x1+..+θnxn。同样是线性回归，对应于上面的假设函数，损失函数为（此处在损失函数之前加上1/2m，主要是为了修正SSE让计算公式结果更加美观，实际上损失函数取MSE或SSE均可，二者对于一个给定样本而言只相差一个固定数值）：

算法相关参数初始化：主要是初始化θ0，θ1..，θn，我们比较倾向于将所有的初始化为0，将步长初始化为1。在调优的时候再进行优化。

对θi的梯度表达公式如下:

用步长（学习率）乘以损失函数的梯度，得到当前位置下降的距离，即：

梯度下降法的矩阵方式描述

对应上面的线性函数，其矩阵表达式为:

损失函数表达式为：

其中Y为样本的输出向量。

梯度表达公式为：

还是用线性回归的例子来描述具体的算法过程。损失函数对于向量的偏导数计算如下：

迭代：

两个矩阵求导公式为：

用Python实现梯度下降

import pandas as pdimport numpy as np

导入两个必要的包。

def regularize(xMat):     inMat=xMat. copy()     inMeans=np. mean(inMat, axis=0)     invar=np. std(inMat, axis=0)     inMat=(inMat-inMeans)/invar      return inMat

定义标准化函数，不让过大或者过小的数值影响求解。

定义梯度下降函数：

def BGD_LR(data alpha=0.001, maxcycles=500):       xMat=np. mat(dataset)        yMat=np. mat(dataset).T        xMat=regularize(xMat)        m,n=xMat.shape        weights=np. zeros((n,1))        for i in range(maxcycles):                grad=xMat.T*(xMat * weights-yMat)/m                weights=weights -alpha* grad                return weights

其中，dataset代表输入的数据，alpha是学习率，maxcycles是最大的迭代次数。

即返回的权重就是说求值。np.zeros 是初始化函数。grad的求取是根据梯度下降的矩阵求解公式。