VaR系列(一)：HS,WHS,RM方法估计VaR
最近参加了一个线上学习计划，一群人一起学《Elements of Financial Risk Management》这本书，主要偏向于金融时间序列和多因子模型的知识，结合python编程。现在已经看了三分之一左右，感觉写的还不错，有些收获，意外惊喜是教材的答案全是用excel公式做的，头一次发现excel还可以做极大似然估计这种东西，很神奇。
VaR的估计是书中一个重要部分，从最浅显的HS模型开始不断深入到蒙特卡洛，讨论了若干估计方法，边学习边总结吧。这次主要总结三种不需要考虑分布的方法，并分析每种方法的特点。
VaR定义
这里所说的VaR并非时间序列中的向量自回归模型(vector autoregression)，而是在险价值(Value at Risk)。指的是一定概率下，一个金融资产在未来一段时间内的最大可能损失，是对金融资产风险情况的一种度量，数学定义为： 给定置信度p下，VaR为满足下式的值
如果用对数收益率R衡量损失，可以表示为
即
也就是说，金融资产的收益率有1-p的概率不会小于-VaR，有p的概率会小于-VaR。如果能准确估计出金融资产未来一段时间内的VaR，对于企业做出投资决策有重要意义。
我们把置信度为p时，第t天起未来k天的在险价值 (100% p VaR for the k-days ahead return)记为
，首先考虑最简单的情况，估计单个股票的
。
VaR估计
1. HS方法 根据VaR的定义可以看出，如果我们能得到股票收益率的分布函数，就可以直接算出VaR。最简单的估计方法HS,WHS就从这种考虑出发，但不考虑去估计分布。 HS方法称为历史模拟法（Historical Simulation），HS方法每次取一定长度的历史数据作为样本，将样本的分布看作是整体分布，在置信度p下，只需要找这些历史数据的前p-分位数，认为这些历史数据的p分位数就可以表示VaR。即
如果我们认为取到的历史数据样本确实可以代替整体分布，这种方法是合理的，将收益率序列升序排列后，位于总体100p%处的收益率值，恰好满足VAR定义要求的只有100p%的值小于它，因此可以作为VaR的估计值，如果p分位数位于两个历史数据之间，可以通过插值的方法计算出准确的p分位数。编程实现也很方便，python中的np.percentile函数可以直接得到一列数据的p分位数，excel中也有类似的函数。
- 优点：简洁，仅需要自己设定取的历史数据长度（窗宽），模型参数少，速度快。
- 缺点：准确性低，响应性差，根据后面的例子可以看出。
2.WHS方法 WHS方法（加权历史模拟法）与HS方法的思想类似，不同点在于，HS方法认为过去每天数据包含的的信息量是一样的，WHS认为距离当天越近的数据，对于当天影响更大，应该赋予更高的权重，因此采用加权100p%分位数表示VAR，python中没有直接计算加权分位数的函数，因此需要自己编程实现。根据后面的例子可以看出，WHS效果明显优于HS。
我们分别用两种方法计算S&P500指数多头方和空头方的1-day,1%VAR，数据和Excel过程可以在网站 http://booksite.elsevier.com/9780123744487/ 上找到。
import os
os.chdir('F:\\python_study\\python_friday\\July')
import pandas as pd
import numpy as np
from scipy.stats import norm
from matplotlib import pyplot as plt
# 计算多头和空头的收益率
data1 = pd.read_excel('Chapter2_data.xls',sheetname = 'Question1_2_forLong')
data1['return'] = np.log(data1.Close/data1['Close'].shift(1))
data1['Loss'] = -data1['return']
data1['VAR'] = np.nan
# HS和WHS
p = 1
window = 250
eta = 0.99
weights = eta ** (np.arange(250,0,-1) - 1)*(1 - eta)/(1 - eta** window)
for i in range(window + 1,data1.shape[0]):
datause = data1.loc[i - window:i - 1,'return']
data1.loc[i,'VAR'] = - np.percentile(datause,p)
data1.loc[i,'VAR_WHS'] = np.sort(-datause)[np.min(np.where(weights[np.argsort(-datause)].cumsum()> 0.99))]
# 作图
data11 = data1.loc[window+1:,:].copy()
data11 = data11.reset_index(drop = True)
X = np.arange(data11.shape[0])
xticklabel = data11.loc[:,'Date'].apply(lambda x:str(x.year) + '-' +str(x.month) + '-' +str(x.day))
xticks = np.arange(0,data11.shape[0]+1,np.int((data11.shape[0]+1)/4))
plt.figure()
SP = plt.axes()
SP.plot(X,data11['Loss'], color = 'red',label = 'Return')
SP.plot(X,data11.VAR,color = 'black',label = 'VAR(HS)')
SP.set_xticks(xticks)
SP.set_xticklabels(xticklabel[xticks])
plt.xlabel('Loss Date')
plt.ylabel('HS VaR and Loss')
plt.grid()
plt.legend()
- HS多头
- WHS多头
- HS空头
- WHS空头
可以看出，不论是多头还是空头，HS基本上没什么波动，WHS在1987年金融危机时，明显增加。但讲道理两种方法效果都很差，没什么用。但加权分位数的思想还是可以借鉴一下，想了半个多小时才明白是什么意思。
3.RM方法 从之前的分析可以看出，用部分历史数据直接代替总体分布可行性很低，因此还是需要对于总体的分布有一个估计。 RM方法也是比较简单易行的，它假设股票的对数收益率服从正态分布（等价于假设股票价格满足对数正态分布），根据定义，有
其中，
为收益率的标准差， Φ为标准正态分布的分布函数。从而
等式右侧最后一项为标准正态分布函数反函数在p点处的函数值。
在这种假设下，要估计VaR，我们只需要对于对数收益率序列的波动率进行建模，估计出未来1天波动率。之后很多方法都是建立在这个框架上。考虑对对数收益率的波动率和分布进行估计。
RM方法是对于波动率的一种简单估计方法，又称风险度量法（RiskMetrics），是Garch(1,1)模型的一种特殊情况。认为波动率满足方法
为什么参数用0.94，教材说法是实践证明这种效果最接近现实，后面编程中，波动率的初始值设为0。 对比HS和RM方法估计的指数VaR在08年金融危机前后的变化情况。
可以看出，RM方法得到的VaR在金融危机时迅速升高，之后逐渐降低，HS就不说了。
p = 1
window = 250
data2['sigma2'] = np.nan
data2.loc[0,'sigma2'] = 0
for i in range(data2.shape[0] - 2):
data2.loc[i + 1,'sigma2'] = data2.loc[i,'sigma2']*0.94 + 0.06* data2.loc[i,'return']**2
data2['VAR_RM'] = -data2['sigma2']**0.5 * norm(0,1).ppf(0.01)*np.sqrt(10)
for i in range(window + 1,data2.shape[0]):
data2.loc[i,'VAR_HS'] = - np.percentile(data2.loc[i - window:i - 1,'return'],p)*np.sqrt(10)
data22 = data2.loc[2019:2374,:].copy()
data22 = data22.reset_index(drop = True)
X = np.arange(data22.shape[0])
xticklabel = data22.loc[:,'Date'].apply(lambda x:str(x.year) + '-' +str(x.month) + '-' +str(x.day))
xticks = np.arange(0,data22.shape[0]+1,np.int((data22.shape[0]+1)/5))
plt.figure(figsize = [20,5])
SP = plt.axes()
SP.plot(X,data22['VAR_RM'],label = 'Risk Metrics',color = 'blue')
SP.plot(X,data22['VAR_HS'],label = 'HS',color ='red')
SP.set_xticks(xticks)
SP.set_xticklabels(xticklabel[xticks],size = 20)
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()基于VaR的策略
教材中最后通过VaR设计了一个简单的投资策略，用不同方法下得到的VaR指导投资，把结果进行对比，再次说明RM优于WHS,WHS优于HS。 策略每日都持有指数多头，但仓位根据VaR值确定
策略在2008年7月1日-2010年1月4日表现如下，三个策略下的净值在金融危机时均迅速下跌，但金融危机过后，RM方法的净值迅速上升，对于风险变化的响应性最好，WHS次之，HS最差。
p = 1
window = 250
eta = 0.99
weights = eta ** (np.arange(250,0,-1) - 1)*(1 - eta)/(1 - eta** window)
data2['sigma2'] = np.nan
data2.loc[0,'sigma2'] = 0
for i in range(data2.shape[0] - 2):
data2.loc[i + 1,'sigma2'] = data2.loc[i,'sigma2']*0.94 + 0.06* data2.loc[i,'return']**2
data2['VAR_RM'] = -data2['sigma2']**0.5 * norm(0,1).ppf(0.01)*np.sqrt(10)
for i in range(window + 1,data2.shape[0]):
datause = data2.loc[i - window:i - 1,'return']
data2.loc[i,'VAR_HS'] = - np.percentile(datause,p)*np.sqrt(10)
data2.loc[i,'VAR_WHS'] = np.sort(-datause)[np.min(np.where(weights[np.argsort(-datause)].cumsum()> 0.99))]*np.sqrt(10)
data2['position_HS'] = 100000/data2['VAR_HS']
data2['position_WHS'] = 100000/data2['VAR_WHS']
data2['position_RM'] = 100000/data2['VAR_RM']
data2['return_HS'] = (np.exp(data2['return']) - 1)*data2['position_HS']
data2['return_WHS'] = (np.exp(data2['return']) - 1)*data2['position_WHS']
data2['return_RM'] = (np.exp(data2['return']) - 1)*data2['position_RM']
data22 = data2.loc[2019:2374,:].copy()
data22 = data22.reset_index(drop = True)
data22['cum_HS'] = data22['return_HS'].cumsum()
data22['cum_WHS'] = data22['return_WHS'].cumsum()
data22['cum_RM'] = data22['return_RM'].cumsum()
X = np.arange(data22.shape[0])
plt.figure(figsize = [20,5])
SP = plt.axes()
SP.plot(X,data22['cum_RM'],label = 'Risk Metrics',color = 'blue')
SP.plot(X,data22['cum_HS'],label = 'HS',color ='red')
SP.plot(X,data22['cum_WHS'],label = 'WHS',color ='green')
xticklabel = data22.loc[:,'Date'].apply(lambda x:str(x.year) + '-' +str(x.month) + '-' +str(x.day))
SP.set_xticks(xticks)
SP.set_xticklabels(xticklabel[xticks],rotation=45,size =20)
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()