人类的数学抽象思维

抽象的数学

如今的数学已经变得相当抽象深奥,但实际上数学却并非生来如此,数学的发展主要是由现实问题来推动,对数学进行抽象能使其成为通用性更强的理论。通过抽象思维从实际问题中提取出规律和概念,将更加本质性的东西提取出来是非常有必要的。这些规律能推广到其它很多学科上,比如物理、化学、计算机科学、天文学等等,几乎大部分学科都跟数学相关。

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数字的抽象

最早最简单的抽象与计数相关,在古代还没有所谓的数字符号,草原上的牧羊人想要管理自己的羊群看会不会少了,该怎么办呢?他们找来一堆石头,然后每把一头羊赶进羊圈就拿出一颗石头,直到所有羊都入圈后保存好所有拿出的石头,这些石头就代表所有羊的数量。当要核对羊的数量时则可以比对羊和石头,如果石头多了则是羊少了。

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后来有了符号后牧羊人可以通过画羊来计数,每只羊对应一个羊的图案,那么一百只羊就要画一百个羊的图案。类似地,如果人们有50只鸡就要画50个鸡的符号,鸭就对应鸭的图案。此时,不知道谁提出了一个具有革命性的想法,将数字从具体事物中提取出来。创造出了1、2、3、4…的数字,这时的数字可以表示任一物体,可以是羊也可以是鸡。至此,计数过程中将数字抽象出来,这是人类思维的一次伟大升华抽象。

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算术的抽象

当数字抽象独立出来后,很自然地就引出了数字计算的问题。比如两拨石头合并到一起一共有多少颗石头,刚摘的10个苹果送给了别人2个自己还剩几个,抓了5只青蛙一共有多少条腿,20头羊平均分给4个人每个人能分多少。类似的生活中的这些具体问题数不胜数,但它们都有内在的共同规律,于是人们抽象出了加减乘除等操作。

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人们在生产实践中发现了数与数之间的性质,并将基类的经验加以整理,从而形成了算术。数字与数字之间包含了不同的关系,生产实践中很多问题可以通过算术来计算。

几何的抽象

现实世界中的物体充满了各种优美的形状,随着人类在建筑、天文、手工业等行业的发展,人们积累了大量的具象物体形状方面的经验。比如三角形、正方形、圆形、球体、正方体等等。这些几何形状都有某些共同的性质,比如长度、角度、面积和体积等等,于是人们从经验中总结了某些定律。

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将具象的物体的抽象为几何形状,再研究总结各种几何形状的性质及定理,极大地促进了人类的生活和生产的进步。很多无法通过实际测量的事物,几何学却能提供解决方法,比如地球的周长,古代的埃及人利用几何原理就能得到一个很接近的值。

未知数的抽象

就在数字、算术和几何之后,数学家带来了未知数的概念,事物的量都可以抽象为未知数。结合实际情况的条件约束以方程式的方式表达,便能够通过逆向思维来解决问题。实际上,未知数和方程就是对解决问题的逆向思维的抽象。假设已知结果x,然后将数学的推理放入方程式中,最后推导出结果。方程式将数学思维逻辑进行抽象,并转成符号运算,使得很多问题能够轻易解决并且更容易理解。

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逻辑的抽象

数学家的脑洞越来越大,这次要被抽象的是逻辑。自亚里士多德以来,逻辑学和数学都是分开研究各自发展的。直到后来德国的哲学家莱布尼茨才尝试将它们结合起来,通过将两种现有的思想结合起来,以形成第三种创新思想,即异类联想。后来发展出数理逻辑这门学科,他们的目标是将抽象的逻辑用精确的数学符号来表示。

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能否将人类的思想抽象成符号表,然后提供类似算术的算子来对这些符号进行操作呢?

原文发布于微信公众号 - Python与机器学习算法频道(alg-channel)

原文发表时间:2019-09-07

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