当我们在说方差分析时，我们在说些什么？
当我们在说方差分析时，我们在说些什么？
方差分析系列1的主要内容：
- 方差分析的定义
- 方差分析的几个概念
- 方差分析和T检验的关系
- 一类错误和二类错误
- 方差分析的思想与数量遗传学
1. 方差分析定义
方差分析或变方分析（Analysis of variance，简称ANOVA）为数据分析中常见的统计模型，主要为探讨连续型（Continuous）资料型态之因变量（Dependent variable）与类别型资料型态之自变量（Independent variable）的关系，当自变项的因子中包含等于或超过三个类别情况下，检定其各类别间平均数是否相等的统计模式，广义上可将T检定中方差相等（Equality of variance）的合并T检定（Pooled T-test）视为是方差分析的一种，基于T检定为分析两组平均数是否相等，并且采用相同的计算概念，而实际上当方差分析套用在合并T检定的分析上时，产生的F值则会等于T检定的平方项。
方差分析依靠F-分布为概率分布的依据，利用平方和（Sum of square）与自由度（Degree of freedom）所计算的组间与组内均方（Mean of square）估计出F值，若有显著差异则考量进行事后比较或称多重比较（Multiple comparison），较常见的为薛费法(事后比较法)、杜其范围检定与邦费罗尼校正，用于探讨其各组之间的差异为何。
在方差分析的基本运算概念下，依照所感兴趣的因子数量而可分为单因子方差分析、双因子方差分析、多因子方差分析三大类，依照因子的特性不同而有三种型态，固定效应方差分析（fixed-effect analysis of variance）、随机效应方差分析（random-effect analysis of variance）与混合效应方差分析（Mixed-effect analaysis of variance），然而第三种型态在后期发展上被认为是Mixed model的分支，关于更进一步的探讨可参考Mixed model的部分。
方差分析优于两组比较的T检验之处，在于后者会导致多重比较（multiple comparisons）的问题而致使第一型错误（Type one error）的机会增高，因此比较多组平均数是否有差异则是方差分析的主要命题。
在统计学中，方差分析（ANOVA）是一系列统计模型及其相关的过程总称，其中某一变量的方差可以分解为归属于不同变量来源的部分。其中最简单的方式中，方差分析的统计测试能够说明几组数据的平均值是否相等，因此得到两组的T检验。在做多组双变量T检验的时候，错误的概率会越来越大，特别是第一型错误，因此方差分析只在二到四组平均值的时候比较有效。
---wiki百科--
育种数据中，想要看几个品种在不同地点的表现，有些品种产量高，有些品种产量低，问题是这些产量高的品种是由于误差造成的，还是它本身的基因型导致的产量高，这就需要用科学的方法进行检验，进行品种的筛选。检测不同品种显著性的方法，最常用的就是方差分析。
2. 方差分析几个概念
1．因素
因素是一个独立的变量，也就是方差分析研究的对象，也称为因子。如：我们要分析饮料的颜色对饮料的销售量是否有影响，在这里，“饮料的颜色”是所要检验的对象，它就是一个因素。在有的书中把因素称为“因子”。
2．水平
因素中的内容称为水平，它是因素的具体表现。如：“饮料的颜色”这一因素中的水平有四个，即饮料的四种不同颜色：无色、粉色、桔黄色、绿色；它们是“饮料的颜色”这一因素的四种具体表现。因素的每一个水平可以看作是一个总体，比如：无色、粉色、桔黄色、绿色饮料可以看作是四个总体。
3．控制变量
在方差分析中，能够人为控制的影响因素称为控制因素，或控制变量；如：例1中，“饮料的颜色”对于饮料的销售量而言，是能够人为控制的影响因素，称为控制变量。
4．随机变量
在方差分析中，人为很难控制的影响因素称为随机因素，或随机变量；如：例1中，“人们对不同颜色的偏爱”对于饮料的销售量而言，是人为很难控制的影响因素，称为随机变量。
5．观察变量与观察值
在方差分析中，受控制因素和随机因素影响的事物，称为观察变量。在每个水平下得到的样本数据称为观察值。如：例1中，销售量是观察变量，在每个饮料颜色下得到的样本数据（即表10－1中的数据）就是观察值。
品种试验中，术语对应关系：
- 因素：品种就是因素或者因子（factor）
- 水平：10个品种，每个品种就是因素的一个水平（level）
- 控制变量：我们可以控制的因素，比如品种
- 随机变量：我们不能控制的因素，比如残差
- 观测值：我们想要考虑的性状，比如产量
3. 方差分析和T检验
T检验是两两之间的检验，判断一个因素的两个水平是否一样，如果品种比较多，比如郑单958，先玉335，伟科702，就需要比较3个T检验，如果它犯错的可能是0.05（一类错误），那么三组试验至少有一个错误的概率为3*0.05 = 0.15，很大的概率有没有，而方差分析只需要一次试验，降低一类错误。
所以，在多个水平时，方差分析要优于T检验
4. 一类错误和二类错误
- 一类错误：假阳性 本来是不显著的，然后统计推断达到了显著性，是错误的
- 二类错误：假阴性 本来是显著的，然后统计推断不显著性，是错误的
在这里插入图片描述
5. 方差分析和数量遗传学
方差分析的方法，重要的是变异分解这个思路，与线性模型关联在了一起，然后数量遗传学也将表型值分为基因型值与环境效应，育种是针对表型数据间接选择基因型值，这个思路如此简洁，又意义重大。
在没有科学的思路之前，育种就像无头的苍蝇一样，杂乱无章法。遗传力高的时候，表型选择有效，遗传力低时表型选择就很吃力。
5.1 方差分析原理1：表型值剖分
比如10个品种的产量，用完全随机区组设计，重复3次，得到产量的值，如何判断这10个品种好坏？
我们用线性模型，将产量进行分解：
用数学公式表示：
- y: 产量
- mu: 平均值
- beta: 品种效应值
- epsilon: 误差
在这里插入图片描述
5.2 方差分析原理2：组间变异和组内变异
- 组间变异：品种间的变异
- 组内变异：品种内误差变异
5.3 方差分析原理3：组间变异/组内变异
如果品种间的变异远远大于组内的变异，及品种的差异远远大于误差，说明品种间的差异是真实的，即品种间达到显著水平，这里的SA和SE要除以自由度，得到F值，然后根据分子和分母的自由度，计算F值对应的P值。
5.4 方差分析和数量遗传学
在育种中，我们感兴趣的不是beta是否达到极显著，而是要得到beta的值（效应值，育种值），然后根据它进行品种筛选，因为它代表着品种的真实表现，它排除了误差和环境造成的影响。
由方差分析的变异分解，到育种值，到配合力，到BLUP值，到GBLUP，HBLUP，都是这种思路的延伸，不同的是使用一般线性模型，混合线性模型，贝叶斯模型等等
6. 参考资料
https://gisersqdai.top/2017/06/11/%E5%BA%94%E7%94%A8%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E5%AD%A6%E4%B8%8ER%E8%AF%AD%E8%A8%80%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E7%AC%94%E8%AE%B0%EF%BC%88%E5%85%AB%EF%BC%89%E2%80%94%E2%80%94%E6%96%B9%E5%B7%AE%E5%88%86%E6%9E%90/ http://www.cmtsa.org/uploads/soft/140806/%E7%AC%AC7%E7%AB%A0%E6%96%B9%E5%B7%AE%E5%88%86%E6%9E%90.pdf http://math.sjtu.edu.cn/faculty/chengwang/files/2015spring/%E6%96%B9%E5%B7%AE%E5%88%86%E6%9E%90.pdf https://www.jianshu.com/p/f5f54a39cb19