网格映射

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网格映射是什么

对于两个网格S和T，它们之间的映射F：S -> T，可以根据根据S和T的相似度来进行分类：

• 第一类情况，S和T通过刚性变换就可以注册对齐，如下左图所示。如果S和T有相同的网格连接关系，那么F可以是一个刚性变换。如果S和T的网格连接关系有差异，则S和T互为对方的Remesh网格。
• 第二类情况，S和T是同一类物体，S和T可以通过近似刚性变换注册对齐，或者叫非刚性注册，如下中间图所示。
• 第三类情况，S和T是不同类的物体，但是形状上相似，有相同的拓扑结构。比如下面右图所示，S和T都为四肢动物，都有尾巴。它们之间的映射比第二类要复杂一些。
• 还有一些其它的情况，S和T的形状相似度很低，拓扑结构也不一样。这类的网格映射就更为复杂了，目前很有少这方面的研究。

meshmapping_examples

另外，网格的参数化也是一类特殊的网格映射。如果参数域是平面，那么它就是网格的UV展开。因为参数域一般是基本形状，所以这类网格映射都是放在网格参数化里进行讨论。这里介绍的网格映射，网格的形状是一般化的。

uvunfold

网格映射的性质

网格映射的计算，经常会考虑一些性质：

• 双射：两个网格在映射区域的映射，期望是一个双射。
• 扭曲度：映射扭曲度经常用于度量映射的好坏，优化能量里也常见扭曲度的度量。最好的情况是保距的，也就是S上两点的距离，在映射到T上后，也保持同样的距离。这个距离一般指测地距离。严格保距需要对网格形状有一定的要求，很多时候是尽量的保距。有时候网格的形状差别很大，保距很不现实，就退而保角，也就是S上的一个夹角在映射到T上后，角度值要尽量保持住。保距和保角性质，也常用于UV展开。

网格映射的应用

网格映射有很多应用：

• 模板网格拟合

template_fitting

• 纹理迁移

texture_transfer

• 形状插值

shape_interpolation

网格映射的计算方法

网格映射的计算方法有很多，常见的有这几种类型：

• 间接法

Cross-Parameterization

• 直接法

surface_mapping

• 函数映射法

functional_map

网格映射的计算方法中，一般需要一个初始的特征点对应，如图所示。网格特征点的对应计算，是一个经典的问题。

shape_correspondence

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