完全二叉树

堆常用来实现优先队列。 用数组保存数据，而不是链表。

在队列中，操作系统调度程序反复提取队列中第一个作业并运行，因为实际情况中某些时间较短的任务将等待很长时间才能结束，或者某些不短小，但具有重要性的作业，同样应当具有优先权。堆即为解决此类问题设计的一种数据结构。

堆的实现通过构造二叉堆（binary heap），实为二叉树的一种（完全二叉树） 完全二叉树：若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树

大根堆和小根堆

最大（最小）堆是一棵每一个节点的键值都不小于（大于）其孩子（如果存在）的键值的树。大顶堆是一棵完全二叉树，同时也是一棵最大树。小顶堆是一棵完全完全二叉树，同时也是一棵最小树。

将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

• 堆中任一子树亦是堆。
• 以上讨论的堆实际上是二叉堆(Binary Heap)，类似地可定义k叉堆。

如下图所示，图一为最大堆，图二为最小堆：

基本操作

• 上浮 shift_up；
• 下沉 shift_down
• 插入 push
• 弹出 pop
• 取顶 top
• 堆排序 heap_sort

以小根堆为例： 堆可以用数组存储数据，如有数组：{8，5，2，9，3，7，1，4，6} 则可以构成堆：

image.png

可以发现：任意节点的左右孩子对应数组下标的一半为其父节点对应的下标（5/2==4/2==2）。 注意：这里下标从1开始计算而不是从0开始，因为从0开始的话根节点的下标和子节点下标间就没有了倍数关系（5/2 ！= 6/2）

上浮

从当前结点开始，和它的父亲节点比较，若是比父亲节点来的小，就交换，然后将当前询问的节点下标更新为原父亲节点下标；否则退出。

下沉

经过上浮操作之后，下标3处节点的元素值如下图所示

让当前结点的左右儿子(如果有的话)作比较，哪个比较小就和它交换，并更新询问节点的下标为被交换的儿子节点下标，否则退出。

插入

每次插入的时候呢，都往最后一个插入，然后使它上浮。

弹出（删除根节点元素）

让根节点元素和尾节点进行交换，然后让现在的根元素下沉就可以了。

取顶

根节点数组下标必定是 0，返回堆数组中下标为 0 的元素即可。

堆排序

见算法 - 排序系列文章第六篇，同时用代码实现上述对堆的操作。