谈树，2020 希望有所建「树」

【这是一猿小讲的第 81 篇原创分享】

数据结构是 10 年前大学里学的一门课程，也是我北漂唯一携带的一本书。幸运的是，书还没有被孩子给撕碎。

为了让大家都能够搞懂「树」这个苦涩而硬核的知识，今天就重拾记忆，分享一下研发人员心中那些放不下的「树」。

不过，一定要冲好咖啡、沏壶好茶，心平气和去看文。

01. 「树」现实与虚拟的抽象

在「中华姓氏树」中寻找一片属于你的叶子，探寻一下家族的来源。

在脑海里尝试画一下「家谱树」。

看完现实中的树，那来看一看计算机的文件系统组织形式。

无论是现实的姓氏树、家谱树，还是计算机的文件系统，表现形式虽然不同，但是本质上却都是树。

那到底什么是树呢？

树是由 n（n≥0）个结点组成的有限集合。 当 n = 0 时，称为空树； 当 n > 0 时，有一个特殊的节点称为根结点（root），它没有前驱结点；其它结点分为 m 棵互不相交的子树。

如图示意，（a）为空树；（b）为 1 个结点的树；（c）为 n 个结点的树。

知道了什么是树，上面「家谱树」以及「文件系统」用到的树表示法，有没有学名呢？稍微科普一下。

图示法：是树的直观表示法，主要用于描述树的逻辑结构，如上面提到的家谱树。 横向凹入表示法：是用逐层缩进方法表示结点之间的层次关系，主要用于树的屏幕显示和打印输出，如上面提到的文件系统。

知道了什么树以及树的部分表示法，但是猿有猿声，鸟有鸟语，树也有术语。

02.「树」有术语

节点 or 结点，别再傻傻分不清？

节点：线上一个节点扛不住压力，那就索性再加一个节点。所以节点一般被认为是一个有处理能力的实体，例如一台服务器； 结点：包含一个数据元素及若干指向其子树的分支，在树的图形表示中为一个圆圈，算法中的点一般指的都是结点。

有些老铁习惯用「节点」，有些喜欢用「结点」，到底用哪个？

之前也没太注意这个细节，本次分享就采用「结点」二字。

话又说回来，只要掌握了本领，打败敌人，到底用的是亢龙有悔还是飞龙在天，其实已经没啥意义啦。

父结点、孩子结点与兄弟结点？

父结点：若一个结点含有孩子结点，则这个结点称为其孩子结点的父结点；如上图所示，B、C、D 的父结点都是 A； 孩子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的孩子结点；定义还是比较拗口，还是直接看图吧，B 的孩子结点为 E、F； 兄弟节点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图所示，B、C、D 具有相同的父结点 A，所以 B、C、D 为兄弟结点；

什么是度？

结点的度：一个结点拥有子树的个数称为该结点的度；如上图所示，A 结点拥有 B、C、D 三棵子树，所以 A 结点的度为 3； 树的度：一棵树中，最大的结点度称为树的度；如上图所示，最大的结点度为 3，所以树的度为 3；

结点层次、树的深度或高度？

结点层次：从根开始算起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层，以此类推；如上图所示，E 结点层次为第 3 层； 树的深度或高度：树中结点的最大层次数；如上图所示，由于结点最大层次树为 3，所以树的深度或高度为 3；

啥是森林？

森林：由 m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林。给森林加上一个根结点就变成一棵树，将树的根结点删除就变成森林。

如图所示，把根结点 A 剔除，就会变成以 B、C、D 为根的 3 棵互不相关的树组成的森林。

了解完树的术语，万里长征才算刚迈第一步，接下来就一起看看树的分类。

03. 二叉「树」

啥是二叉树？

二叉树（binary tree）是 n（n≥0）个结点组成的有限集合。 n = 0 时称为空二叉树； n > 0 的二叉树由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的子二叉树构成。

另外，二叉树的子树有左、右之分，所以只有一个子树也要区分是左子树还是右子树。

如上图所示，二叉树主要有以下五种形态：

（a）空二叉树；

（b）只有一个根结点的二叉树；

（c）由根结点、非空的左子树和空的右子树组成的二叉树；

（d）由根结点、空的左子树和非空的右子树组成的二叉树；

（e）由根结点、非空的左子树和非空的右子树组成的二叉树。

满二叉树与完全二叉树？

当二叉树的每一层的结点数目都达到最大值，则称为满二叉树。若对满二叉树的结点进行连续编号，约定根结点的序号为 0，从根结点开始，自上而下，每层自左至右编号，如上图（a）所示。

完全二叉树相对满二叉树而言，节点数是任意的，从形式上去看，最后那一行可能是不完整的，可能右下角某个连续的部分缺失，如上图（b）所示。

另外，满二叉树一定是完全二叉树，而完全二叉树不一定是满二叉树，区别就在最后一层上。

04. 二叉排序「树」

啥是二叉排序树（Binary sort tree）？

二叉排序树可以是一棵空树，或者是具有如下性质的二叉树： 1. 每个结点都有一个作为查找依据的关键字，而且所有结点的关键字互不相同； 2. 结点，左子树元素均小于该结点，右子树元素均大于该结点； 3. 左、右子树也是二叉排序树。

二叉排序树怎么查找？

如果要在一棵二叉排序中，查找值为 value 的结点，算法描述如下： 第一步：从根结点开始，设 p 指向根结点； 第二步：若 key == p.data，则查找成功返回；若 key < p.data，则查找 p 的左子树；否则查找 p 的右子树； 第三步：重复执行第二步，直到 p 为空，查找不成功。

假如要查找 40，那么查找路径是（54，18，36），经过叶子结点 36，查找不成功。

假如要查找 57，那么查找路径是（54，81，76，57），到达结点 57，查找成功。

聪明的小伙伴应该已经看出，在二叉排序树中，一次查找经过从根结点到某结点的一条路径，而不需要遍历整棵树，若查找成功则到达指定结点，否则经过某个叶子结点。

由于二叉排序树能够提供快速查找功能，所以二叉排序树又称为二叉查找树（Binary search tree）。

在图（a）中查找结点 1，那么查找路径为（4,2,1)，但是在图（b）中的查找路径为（4,3,2,1)。

二叉排序树的查找效率与二叉树的高度有关，高度越低，查找效率越高。因此，提高二叉排序树查找效率的办法是尽量降低二叉排序树的高度，于是就有了平衡二叉树。

05. 平衡二叉「树」

啥是平衡二叉树？

平衡二叉树由两位前苏联数学家 G.M.Adel'sen-Velskii 和 E.M.Landis 于 1962 年提出，因此又被称为 AVL 树。

平衡二叉树的主要的特点：它的左子树与右子树的高度之差绝对值不超过 1；它的左子树和右子树都是平衡二叉树。

另外，结点的平衡因子 = 左子树的高度 – 右子树的高度，在平衡二叉树中任何一个结点的平衡因子只能是 -1、0 或 1。下图中每个结点旁边标出的数字是该节点的平衡因子。

如图（a）所示的二叉排序树不平衡，因为结点 81、76 的平衡因子都是 2。

如图（b）所示的二叉树是平衡二叉树，因为每个结点的平衡因子绝对值都不超过 1。

但是，聪明的你们，肯定也会想到，在面对新结点加入时，可能会使平衡二叉树不平衡，那么就需要通过旋转来达到平衡。但是，无论怎么旋转，都无外乎 LL、RR、LR 和 RL 四种情形，下面一起来旋转一下，千万别转晕喽（旋转不明白也没关系，直接往下跳着看）。

LL 型调整（左子树的左边结点）

RR 型调整（右子树的右边结点）

LR 型调整（左子树的右边结点）

RL 型调整（右子树的左边结点）

另外，若真有感兴趣的小伙伴，可以打开下面的链接去旋转，有动画的旋转。

https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/AVLtree.html

虽然平衡二叉树比排序二叉树多了一个自平衡功能，可以使二叉树的高度降低，提升查询效率。

不过这个存储结构在面对大数据量存储的时候，只能分两叉，那么二叉树的高度势必会越来越高，查询效率会越来越低，地基决定了高层建筑，那该怎么办？

只见 B-Tree 已经向我们招手，不过还是先看看二叉树的存储吧。

06. 二叉树的存储结构？

面对二叉树的存储，首先能想到的，便是将一棵完全二叉树的所有结点，按结点序号进行顺序存储的结构。

如图所示，逐个对完全二叉树的结点按照从上到下，从左到右的顺序进行编号，然后进行顺序存储后的结构图。

那么，对于一般的非完全二叉树，就需要通过补充空子树的方法，先将一棵二叉树变成完全二叉树，然后再进行顺序存储。

聪明的你，肯定会想到「补充空子树，存储空间会浪费很多，不太可行」，那该怎么办呢？

于是就改变设计，采用两条链分别连接左、右孩子，每个结点有三个域：data 存储数据元素，left、right 分别指向左、右孩子结点，结构如下。

下图（a）示意了一棵 8 个结点的二叉树，对应的二叉链表存储结构，如下图（b）所示，其中 root 指向二叉链表的根结点。

但是，聪明的你肯定又会发现「采用二叉链表存储二叉树，只保存了结点到孩子结点的单向关系，而没有存储结点到父结点的关系，所以要想获得父结点，需要从根结点开始在二叉树中进行查找，那么花费的时间会较多」，那该怎么办呢？

于是，在二叉链表的基础之上，三叉链表增加一条链 parent 连接父母结点，如上图示意，这样就存储了父母结点与孩子结点的双向关系。

结论：二叉树的存储结构可以分为顺序存储和链式存储（二叉链表、三叉链表），另外二叉树通常采用链式存储结构。

07. B-Tree

B-Tree 又是啥树？

B-Tree 是多路搜索树，并不是二叉的树，是一种常见的数据结构。使用 B-Tree 结构可以显著减少定位记录时所经历的中间过程，从而加快存取速度 —— 来自百度百科。

B-Tree 使用的场景？

1. B-Tree 索引是数据库中存取和查找记录的一种方法； 2. B-Tree 利用多个分支（称为子树）的结点，减少获取记录时所经历的结点数，从而达到节省存取时间的目的。

B-Tree 每层都存放大量的数据，这样树的高度会低，而且能够快速定位数据所在的位置，假如查找「一猿小讲」那么查询路径如下。

但是这样也存在，地基决定高层建筑的问题。由于数据存放在每层，那么范围查询虽然能支持，遍历树比较而已，但是查询起来应该相当繁琐；而且数据量较大时，也会增大查询时的磁盘 I/O 次数，进而也会影响查询效率。那该怎么办？

你看远方，B+Tree 已在向我们招手！

08. B+Tree

B+Tree 是在 B-Tree 基础上的一种改进，像 MySQL、SQLite 等数据库都使用了 B+Tree 算法来处理索引。原来重量级的「树」在这儿候着呢。

我们把同样的数据用 B+Tree 结构存一下，看看与 B-Tree 有什么不同？

蓦然发现，在 B+Tree 中与 B-Tree 明显的不同的是：所有数据都会存放在同一层的叶子节点上；并且叶子节点这层还有指向后面的指针。

这么一来，B+Tree 就能很好地进行范围查询，定位数据后，直接就可以用叶子节点那层的指针遍历了；另外也可以从根结点开始，随机查询啦。

09. 心中有「树」

平时业务研发中，很少去纠结「树」，而且这玩意看过也会忘，不过要知道「面试造火箭，入职拧螺丝」，所以建议还是多下点功夫。

当时数据结构这门课拿了快满分，那都是 10 年前的事啦。不过今天重拾一下，感觉记忆又回来啦。

整理不易，懂与不懂，建议都转发收藏，因为随着时间的推移，年龄的增长，我们不懂的东西会越来越少。