矩阵行列式计算
二阶行列式计算
det \left(
\begin{matrix}
a & b \\
c & d
\end{matrix}
\right ) = ad - bc三阶行列式计算
det \left (
\begin{matrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{matrix}
\right) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}
形式化表述为：(红线为加数，蓝线为减数)
矩阵的逆的计算
1. 待定系数法
令矩阵
(A = left( begin{matrix} 1 & 2 -1 & -3 end{matrix}right))，令所要求解的逆矩阵为
(A^{-1} = left( begin{matrix} a & b c & d end{matrix}right))。则有
(A*A^{-1} = I)，可得到方程组
\begin{matrix}
a + 2c = 1 \\
b + 2d = 0 \\
-a - 3c = 0 \\
-b - 3d = 1
\end{matrix}从而解的
(a = 3, b = 2, c = -1, d = -1)，即
A^{-1} = \left(
\begin{matrix}
3 & 2 \\
-1 & -1
\end{matrix}
\right)
2. 初等变换求逆矩阵
同样，令矩阵
(A = left( begin{matrix} 1 & 2 -1 & -3 end{matrix}right))，写出它的增广矩阵
(A|E)，即矩阵
(A)右侧放置一个同阶的单位矩阵，得到一个新矩阵。
A|E = \left(
\begin{matrix}
1 & 2 & 1 & 0 \\
-1 & -3 & 0 & 1
\end{matrix}
\right)
对其进行初等变换，使原来
(A)处的矩阵变换成为单位矩阵，则原单位矩阵处就变换成了
(A^{-1})，变换后的矩阵为：
\left(
\begin{matrix}
1 & 0 & 3 & 2 \\
0 & 1 & -1 & -1
\end{matrix}
\right)常用的梯度公式
(1)\ f(x) = C(常数), \nabla f(x) = 0, 即\nabla C = 0(2)\ f(x) = b^{T}x, \nabla f(x) = b(3)\ f(x) = x^{T}x, \nabla f(x) = 2x(4)\ f(x) = x^{T}Qx (Q^T=Q), \nabla f(x) = 2QxTaylor展开公式
设
(f:R^n rightarrow R)二阶可导，在
(x^*)的领域内
一阶Taylor展开式为
f(x) = f(x^*)+(\nabla f(x^*))^T(x-x^*) + o(||x-x^*||)二阶Taylor展开式为
f(x) = f(x^*)+(\nabla f(x^*))^T(x-x^*) + \frac{1}{2}(x-x^*)^T\nabla ^2f(x^*)(x-x^*) + o(||x-x^*||)凸集
若集合
(D)中任意两点的连线段都属于
(D)，则称
(D)为凸集。
两点
(x^1, x^2)连线段上任一点可表示为
(x=ax^1+(1-a)x^2,ain[0,1])设
(A,Bsubseteq R^n)是凸集，则
(Abigcap B, A + B, A - B)也是凸集。其中
(A + B := {a+b:ain A, bin B}),
(A-B:={a-b:ain A, b in B})，注意
(A bigcup B)不一定是凸集。
(D)是凸集
(Longleftrightarrow D)中任意有限多个点的凸组合也属于
(D)。
凸函数
定义：设集合
(D subseteq R^n)为凸集，函数
(f:D rightarrow R)，若
(forall x^1,x^2 in D, alpha in (0,1))，均有：
f(\alpha x^1 + (1 - \alpha)x^2) \leq \alpha f(x^1) + (1-\alpha)f(x^2)
则称
(f)为凸集
(D)上的凸函数。
假设
(f(x),g(x))均为凸函数，证明
(maxlbrace f(x), g(x)rbrace)也是凸函数。
证明：
(f(tx_1 + (1-t)x_2) leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2), g(tx_1 + (1-t)x_2) leq tg(x_1) + (1-t)g(x_2))(max lbrace f(tx_1+(1-t)x_2), g(tx_1, (1-t)x_2) rbrace leq maxlbrace tf(x_1) + (1-t)f(x_2), tg(x_1) + (1-t)g(x_2) rbrace leq t maxlbrace f(x_1), g(x_1) rbrace + (1-t) maxlbrace f(x_2), g(x_2) rbrace)凸函数判定定理
设
(D subseteq R^n)为非空开凸集，函数
(f:Drightarrow R)在
(D)上二次可微，则
(i)
(f)在
(D)上为凸函数
(Longleftrightarrow forall xin D, nabla^2f(x))半正定
(ii) 若
(forall x in D, nabla^2 f(x))正定，则
(f)在
(D)上为严格凸函数
对于凸规划
$
min f(x)
$
$
s.t. g_i(x) \leq 0, i=1,2,L,m
$
若
(overline{x} in D, f in C^1)，则
(overline{x})为上式的最优解的充要条件为
(forall x in D)，有
(x-\overline{x})^T \nabla f(\overline{x}) \ge 0精确一维搜索
成功失败法
步骤1：选取初始点
(xin R),初始步长
(h gt 0)及精度
(epsilon gt 0)，
(varphi_1 = f(x))
步骤2：计算
(varphi_2 = f(x+h))
步骤3：若
(varphi_2 < varphi_1)，搜索成功, 转步骤4；否则，搜索失败，转步骤5。
步骤4：令
(x:= x + h),
(varphi_1 := varphi_2, h := 2h),转步骤2。
步骤5：判断
(|h| < epsilon)？,若
(|h| < epsilon)停止迭代，
(x^*=x)；否则令
(h = frac{-h}{4})转步骤2。
0.618法
使用四个点来依次缩短区间，当区间长度充分小时，可将区间中点取做极小点的近似点。所选取的四个点分别为
(a,b,x_1,x_2)，其中，
(a,b)分别为区间的下界和上界。
(x_1,x_2)的计算符合0.618准则，如下：
\begin{matrix}
x_1 = a+0.382(b–a) \\
x_2 = a+0.618(b–a)
\end{matrix}二分法
因为我们假定函数在所给区间为凸函数，因此区间范围内必存在一点使得其导数为0，该点即为极小点。所以可以每次计算区间中点的导数值，以此来缩小区间，当区间足够小时，使区间的中点为局部极小点。
步骤1：计算
(x_0 = frac{a+b}{2})
步骤2：若
(f^{'}(x_0) lt 0)，令
(a = x_0)，转步骤3；
若
(f^{'}(x_0) gt 0)，令
(b = x_0)，转步骤3；
若
(f^{'}(x_0) = 0)，停止，
(x^* = x_0)；
步骤3：若
(|b-a| lt epsilon)，则
(x^* = frac{a+b}{2})，停止，否则，转步骤1.
牛顿法
步骤1：给定初始点
(x_1,epsilon gt 0)，令
(k=1)
步骤2：计算
(x_{k+1} = x_{k} - frac{f^{'}(x_k)}{f^{''}(x_k)})
步骤3：若
(|f^{'}(x_{k+1})| lt epsilon)，停止，
(x^* approx x_{k+1})拟Newton法
需要构造
(H_k)，
(H_k)需要满足的几个原则有：
- 拟牛顿性质
$\Delta x_k = H_{k+1}\nabla g_k
(，其中)H_{k+1}$不唯一，该式表现了拟牛顿性质，称为条件或者方程。
- 二次收敛性
(f(x)=frac{1}{2}x^TAx+b^Tx+c, A对称正定)
把算法用于
(n)元正定二次函数时，至多
(n)次达到极小点。
- 稳定性
在算法的迭代点
(x^k)处可选择步长，使得下个迭代点
(x^{k+1}处的函数值下降，则称此算法是稳定的。)插值法
使用成功失败法寻找“高，低，高”三点，分别作为区间和区间内的一点，然后通过这三个点构造二（三、四）次方程，得到该方法的极值点作为第四个点，然后通过这四个点的函数值来进一步缩短区间。
步骤1：(用成功失败法) 寻找“高-低-高”三点：即三点满足
x_1 \lt x_2 \lt x_3,\ f(x_1) \gt f(x_2) \lt f(x_3)
步骤2：确定二次插值多项式
(P(x) =a_0+a_1 x + a_2 x^2)，求出
(P)的极小点
(overline{x})(因
(P(x_1) gt P(x_2) lt P(x_3)))，故
(a_2 gt 0)，
(overline{x} in [x_1, x_3])
步骤3：若
(|x_2 - overline{x}| lt epsilon)，则迭代结束，取
(x^* = overline{x})，否则在点
(x_1,x_2,x_3,overline{x})中，选取使
(f)最小的点作为新的
(x_2)，并使新的
(x_1,x_3)各是新的
(x_2)近旁的左右两点，转步骤2，继续迭代，直到满足终止条件。
最速下降法
步骤1：选定初始点
(x,epsilon gt 0)，并令
(k=1)。
步骤2：若
(||nabla f(x^k)|| leq epsilon)，得到近似驻点
(x^k)，否则转步骤3
步骤3：令
(d^k = - nabla f(x^k))
步骤4：由精确一维搜索确定最佳步长
(lambda_k=arg min f(x^k+lambda d^k))。令
(x^{k+1}=x^k+lambda _kd^k, k:=k+1)，转步骤2
Newton法
求函数
(f)的极小点，给定误差极限
(epsilon).
步骤1：选定初始点
(x^1)，计算
(f_1 = f(x^1),k=1)
步骤2：如果
(||nabla f(x^k)|| leq epsilon)，停止，得到近似驻点
(x^k)，否则转步骤3
步骤3：计算搜索方向
(d^k = -(nabla ^2f(x^k))^{-1}nabla f(x^k))
步骤4：令
(x^{k+1} = x^k+d^k, k=k+1)，转步骤2
阻尼Newton法
将Newton法中的迭代公式进行替换，加入精确一维搜索
(min f(x^k + lambda d^k))，求得最佳步长
(lambda_k)，得到下一个迭代点
(x^{k+1} = x^k+lambda_k d^k)利用阻尼Newton法求n元正定二次函数的极小点，从任意初始点出发，一步迭代即可达到极小点。
FR共轭梯度法
步骤1：选定初始点
(x^1)
步骤2：如果
(||g_1|| leq epsilon)，停止，得到近似驻点
(x^1)，否则转步骤3
步骤3：取
(p^1=-g_1,k=1)
步骤4：精确一维搜索找最佳步长
(lambda_k)，令
(x^{k+1} = x^k + lambda_kp^k)
步骤5：如果
(||g_{k+1}|| leq epsilon)，停止，得到近似驻点
(x^{k+1})，否则转步骤6
步骤6：如果
(k=n)，令
(x^1=x^{k+1},p^1=-g_{k+1},k=1)，转步骤4；否则转步骤7
步骤7：计算
(a_k=frac{||g_{k+1}||^2}{||g_k||^2},p^{k+1}=-g_{k+1}+a_kp^k,k=k+1)，转步骤4
变尺度法--DFP算法
步骤1：选定初始点
(x^1)，初始矩阵
(H_1=I_n),
(epsilon gt 0)
步骤2：如果
(||g_1|| leq epsilon)，停止，得到近似驻点
(x^1)，否则转步骤3
步骤3：取
(p ^1=-H_1g_1,k=1)
步骤4：精确一维搜索找最佳步长
(lambda _k)，令
(x^{k+1} = x^k + lambda_k p^k)
步骤5：如果
(||g_{k+1}|| leq epsilon)，停止，得到近似驻点
(x^{k+1})，否则转步骤6
步骤6：如果
(k=n)，令
(x^1=x^{k+1},p^1=-g_{k+1},k=1)，转步骤4，否则转步骤7
步骤7：令
(Delta x_k = x^{k+1} - x^k, Delta g_k = g_{k+1} - g_k, r_k=H_k Delta g_k)，计算：
H_{k+1} = H_k + \frac{\Delta x_k (\Delta x_k)^T}{(\Delta x_k)^T \Delta g_k} - \frac{r_k (r_k)^T}{(\Delta g_k)^T H_k \Delta g_k}
和
(p^{k+1}=-H_{k+1}g_{k+1})，令
(k = k+1)，转步骤4
两阶段法首先需要向原变量等式中引入人工变量，且人工变量均大于等于0，然后使用单纯形方法求解使得人工变量之和最小的条件，之后将修改单纯形表，将人工变量删去，继续使用单纯形方法得到目标函数的最优解。值得注意的是，在选择进基变量时，选择检验数，即
(sigma_j)大于0，且最大的一个。选择离基变量时，选择
(theta)大于0且最小的一个。当值相等时，离基变量选择下标最大的，进基变量选择下表最小的。
大
(M)法
在约束中引入人工变量
(x_a)，同时修改目标函数，在原目标中加上惩罚项
(Me^Tx_a)，其中
(M)为充分大的正数。
对偶规划
对偶单纯形法
对偶单纯形法的基本思想: 从(P)的一个对偶可行的基本解出发，在保证对偶可行的条件下，逐步使原问题基本解的不可
行性消失（即x非负），直到获得原问题的一个基本可行解为止，而这个基本可行解就是原问题的最优解.
对偶单纯形方法与原单纯形方法主要的区别就是，先计算
(overline{b})，找出其中小于0，且最小的一个作为离基变量，然后用
(sigma_j)除以对应的行，得到参考值，选择参考值中大于0，且最小的一个作为进基变量。目标是使
(overline{b})值均大于等于0.
K-T点计算，一阶最优性条件
\begin{matrix}
\nabla f(\overline{x}) - \sum_{i \in I(\overline{x})}w_i\nabla g_i(\overline{x}) - \sum_{j=1}^{l} v_j \nabla h_j(\overline{x}) = 0 \\
w_i \geq 0,i \in I(\overline{x})
\end{matrix}\begin{matrix}
\nabla f(\overline{x}) - \sum_{i=1}^{m}w_i\nabla g_i(\overline{x})-\sum_{j=1}^l v_j \nabla h_j(\overline{x}) = 0 \\
w_i \geq 0, i=1,...,m \\
w_i g_i(\overline{x}) = 0,i=1,...,m
\end{matrix}
满足以上两个条件中的任意一个即为K-T点。若要求K-T点，用下式，若要验证，用上式。其中，
(g_i)为大于约束，
(h_i)为等式约束。
外点罚函数法
构造罚函数：
(min F(x,M_k)=f(x)+M_k p(x))。
其中
(M_k)逐渐趋于无穷
优化函数为
\begin{matrix}
min\ f(x) \\
s.t.\ g_i(x) \geq 0, i=1,...,m \\
h_j(x) = 0,j=1,...,m
\end{matrix}
则
(p(x) = sum_{i=1}^{m}(minlbrace g_i(x),0 rbrace )^2+sum_{j=1}^l h_j^2(x))，可用
(x)来表示
(M)，然后让
(M)趋于无穷，以此求得
(x)。
外点罚函数法性质
(F(x^{k+1}, M_{k+1}) geq F(x^k, M_k))
(p(x^{k+1}) leq p(x^k))
(f(x^{k+1}) geq f(x^k))外点罚函数法不等式证明
(F(x^{k+1}, M_{k+1}) geq F(x^k, M_k))
对于由外点法产生的点列
(lbrace x^k rbrace)，
(k geq 1)，总有：
$
F(x^{k+1}, M_{k+1}) = f(x^{k+1}) + M_{k+1}p(x^{k+1}) \geq f(x^{k+1}) + M_kp(x^{k+1})
$
=$
F(x^{k+1}, M_k)
$
$
\geq F(x^k,M_k)
$
(p(x^{k+1}) leq p(x^k))
$
f(x^{k+1}) + M_kp(x^{k+1}) = F(x^{k+1}, M_k) \geq F(x^k, M_k) = f(x^k)+M_kp(x^k)
$
$
f(x^{k+1}) - f(x^k) \geq M_k[p(x^k)-p(x^{k+1})]
$
$
f(x^k)+M_{k+1}p(x^k)=F(x^k, M_{k+1})\geq F(x^{k+1}, M_{k+1})=f(x^{k+1})+M_{k+1}p(x^{k+1})
$
$
f(x^k)-f(x^{k+1}) \geq M_{k+1}[p(x^{k+1})-p(x^k)]
$
$
0 \geq (M_{k+1}-M_k)[p(x^{k+1})-p(x^k)] 已知M_{k+1}\geq M_k
$
$
p(x^{k+1}) \leq p(x^k)
$
(f(x^{k+1}) geq f(x^k))(f(x^{k+1}) + M_kp(x^{k+1})=F(x^{k+1},M_k)geq F(x^k,M_k)=f(x^k)+M_kp(x^k))(已知p(x^{k+1})leq p(x^k))(f(x^{k+1})geq f(x^k))内点罚函数法
构造罚函数：
(F(x,r)=f(x)+rB(x)),只可用于不等书约束的条件，要求大于等于0
\begin{matrix}
B(x) = \sum_{i=1}^m \frac{1}{g_i(x)} \\
B(x) = -\sum_{i=1}^m ln(g_i(x))
\end{matrix}内点罚函数法性质
(F(x^{k+1}, r_{k+1}) leq F(x^k, r_k))
(B(x^{k+1}) geq B(x^k))
(f(x^{k+1}) leq f(x^k))约坦狄克可行方向法
步骤1：给定初始可行点
(x^0)，令
(k=0)
步骤2：在点
(x^k)处将
(A)和
(b)分解成
A=\left(
\begin{matrix}
A_1 \\ A_2
\end{matrix}
\right)b=\left(
\begin{matrix}
b_1 \\ b_2
\end{matrix}
\right)
使得
(A_1x^k=b, A_2x^kgt b_2)，计算
(nabla f(x^k))。
步骤3：求解线性规划$
\begin{matrix}
min(\nabla f(x^k))^Td \
s.t. A_1d \geq 0 \
Cd = 0\
|d_j| \leq 1, \forall j
\end{matrix}
(得到最优解)d^k$
步骤4：若
((nabla f(x^k))^Td^k = 0)，则算法结束，
(x^k)是K-T点，否则转步骤5
步骤5：利用(*)式计算
(lambda_{max})，求解一维搜索问题
\begin{matrix}
min\ f(x^k+\lambda d^k) \\
s.t.\ 0\leq \lambda \leq \lambda_{max}
\end{matrix}
得到极小点
(lambda _k)，令
(x^{k+1}=x^k+lambda _kd^k,k=k+1)，转步骤2.
$
\lambda _{max}=\left \lbrace
\begin{matrix}
min\lbrace \frac{\overline{b_i}}{\overline{d_i}}| \overline{d_i} \lt 0\rbrace if \exist\overline{d_i} \lt 0 \
+\infty if \overline{d} \geq 0
\end{matrix}
\right.
$ (*)
$
\overline d = A_2d^k , \overline b = b_2 - A_2x^k
$
注：单纯形法，
(sigma_j)选择大于0且值最大的进基，
(theta)选择大于0且值s最小的进基。
对偶单纯形，先找离基再找进基。
(overline{b})选择小于0且最小的一个离基，
(sigma)除以对应的行，所得大于0且最小的进基。
