【DL笔记2】矢量化技巧&Logistic Regression算法解析

【DL笔记2】矢量化技巧&Logistic Regression的算法解析

一、神经网络中的矢量化技巧

就一句话：

❝「只要阔能，就不要使用显示for循环（explicit for-loop），而是尽可能采用矢量化技术（Vectorization）」 ❞

为啥呢，因为深度学习中的数据量往往巨大，用for循环去跑的话效率会非常低下，相比之下，矩阵运算就会快得多。而python的矩阵“传播机制（broadcasting）”和专门用于矩阵计算的numpy包更是给了我们使用矩阵运算的理由。

因此，我们在面对深度学习问题的时候，首先要想一想，如何把数据进行“矢量化”，就是转化成向量或者矩阵，这样可以大大提高我们的效率。

有关python的传播机制、numpy的典型使用以及for-loop和vectorization运算时间的对比，可以参见我的另一篇文章：Python的矩阵传播机制&矩阵运算——消灭for循环！

具体怎么把我们的数据进行Vectorization呢？我们在Logistic regression的python实现里面去看一看：

二、Logistic regression算法解析

在写python代码之前，我们先用伪代码来示意一下Logistic regression的过程。

首先回顾一下上一篇文章【DL笔记1】Logistic Regression：最基础的神经网络中对Logistic regression模型的学习和预测的步骤：

1. 初始化W和b
2. 指定learning rate和迭代次数
3. 每次迭代，根据当前W和b计算对应的梯度（J对W，b的偏导数），然后更新W和b
4. 迭代结束，学得W和b，带入模型进行预测，分别测试在训练集合测试集上的准确率，从而评价模型

假设我们的样本数为m，每一个样本的特征数为n，我们设置的迭代次数为2000，那么按照上述步骤，如果使用for循环的话，我们需要几个for，总循环多少次呢？

1.初始化：

J=0 (这是cost), , (J对w的偏导，即梯度)， b=0

2.一次迭代：

For i = 1 to m: { （行向量乘以列向量，就是个数了） （a就是上一篇文章中的y'，就是经过Activation之后的值） (注意这里的+=，说明是个累加，就是要累加每一个样本的loss，最后还要除以m，就是代价cost) }

For j = 1 to n: { } (这里一样，都是累加，因为要遍历完m个样本，然后求平均梯度，再更新) }

3.计算平均梯度，并更新：

更新完之后别忘了，「这只是一次迭代，接着把上面过程重复2000次！」

简单看一下：

for iteration=1 to 2000:  #梯度下降2000次迭代
  for i=1 to m:  # 遍历m个样本
    for j=1 to n  # 求每一个特征对应的w的梯度

3个for循环啊！共循环2000×m×n次！通常情况下，m至少也有大几千吧，特征n更是成千上万，尤其是对于图片识别类的问题。这样for下去简直阔怕！

事实上，我们可以「通过Vectorization来消除第二个和第三个for循环」，因为一个样本的n个特征可以组成一个向量，m个样本也可以组成一个大矩阵。于是：

可以设： 其中 是一个列向量：\ ，包含了n个特征。

对应的，n个权重也可以定义成一个列向量：

于是，我们将上面的算法都转换成矩阵或者向量： （上面出现的np.dot()是numpy包的矩阵乘法，就是点乘，np.sum()就是numpy的矩阵求和）

搞定，一次迭代中，一个for也没有用。（当然，这个迭代的for循环我们没法消除，因为迭代次数是我们人为设定的，这里设为2000次，也可以设为1500次、3000次等等）

上面就是Logistic regression的算法了.

我们总结一下：

所谓的Vectorization，就是把我们需要用for-loop来对那些只有上标或者下标变化的变量，放进一个向量或者矩阵中，让他们所有变量同时计算！因此，Logistic regression算法向量化的过程，就是：

1. 把m个样本，同时计算，同时算出它们的,也就是直接算Z这个m维行向量
2. 同时把Z的m维都激活，得到m维行向量A
3. 得到A和Z之后，就可以直接计算J对Z的梯度dZ了，得到dZ之后，也就可以直接算出W和b的梯度了
4. 同时更新所有的和b