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什么是量子计算

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老齐
发布2020-06-01 16:28:31
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发布2020-06-01 16:28:31
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文章被收录于专栏:老齐教室

作者:Jonathan Hui

翻译:老齐

量子位是量子计算中的核心单位,借助于叠加态,我们可以将量子位编码成指数级的信息,这些信息可以比传统的计算机产生的信息多得多。在本文中,首先要介绍一下量子计算的基本原理,以及量子力学中的一些法则。

叠加态

叠加态是一个重要的概念,因为这要牵扯到量子位。还是从自旋的数学模型开始吧,别害怕!它很简单。在这里我们会放慢学习的节奏,从而你能够有时间熟悉量子力学中的一些符号,这些符号构成了量子力学中那些优美的函数。另外,我们这里用到的数学,远比你想象得简单。

当我们说一个叠加态中的粒子的自旋时,其含义非常简单,就是指自旋向上(up spin)和自旋向下(down spin)的线性组合,用狄拉克符号表示就是这样的:

前面的系数

\alpha

叫做振幅(amplitude)

此处的自旋向上和自旋向下就相当于向量的基,类似于直角坐标系中x、y两个向量的基那样,其写法也类似。

用狄拉克符号表示,

|\Psi \rangle

表示量子态(quantum state),它其实是矩阵。上图中的 superposition 所标示的,就是自旋的线性组合,它就是一种叠加态,也就是一种量子态。

|0\rangle

|1 \rangle

是两个正交向量,可以写成:

或者是:

\langle0| = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\langle 1|=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}

线性代数,没那么复杂。在这里,我们只是用狄拉克符号将线性代数中的写法简化了。一旦你熟悉了,我们可以用很多简单的方式进行表示。例如,两个正交向量的内积,用

\langle0|1\rangle

表示,它们的结果总是

0

。而任何两个叠加态的内积则为

1

\langle0|1\rangle = 0,\langle 1|1 \rangle = \langle \Psi|\Psi \rangle=1

下面所示的是更复杂一些的叠加态以及对应的矩阵表示。

|+\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt {2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}
|-\rangle=\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt {2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}

通过对自旋向上和自旋向下的测量,我们能够控制叠加态,但是,当我们测量了自旋向上,叠加态可能坍缩为某一种状态,

|0 \rangle

|1 \rangle

。这是量子力学的核心思想,也是自然的运作规律。

假设一个粒子状态表示为:

\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle

它坍缩为另外一种状态的概率是相应振幅的平方,事实表明,这个模型与实验结果相符的非常好,因此,测量粒子的自旋向上的概率是

\frac{1}{2}

这是我们必须要掌握的基本原则,所有状态的测量概率之和是

1

(即

\langle \Psi | \Psi \rangle=1

),计算方式如下:

|\alpha_0|^2+|\alpha_1|^2

我们可以把叠加态想象成一个单位球体表面的一个点,自旋向上和自旋向下恰恰是这个球体的北极和南极,那么图中的红点就表示了另外一种叠加态,测量它的时候,自然迫使它选择一边,向上还是向下。

但是,上面图示也不是非常准确。为了更贴近真实的直观表示,像上图那样的球体称为布拉赫球,其中的振幅

\alpha

也可以是复数,例如:

\frac{1-i}{2\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1+i}{2\sqrt{2}}|1\rangle

这样,叠加态的值有6种可能。

通过计算振幅的范数,就得到了概率,方法就是振幅与其共轭相乘,例如

3+4i

的共轭是

3-4i

,表示为:

\alpha_i^* \alpha_i

下面,我们简要比较一下比特(bit)和量子位。一个比特表示两个可能数值中的一个,不是

0

就是

1

。一个量子位表示单位球面上的点。在第一个回合中,量子位在表示的状态数量上更胜一筹。

另外,我们可以通过量子态的组合而成一个复杂系统,根据量子力学的原理,一个复杂系统可以用张量积表示:

|v\rangle \otimes|w\rangle \quad or \quad |vw\rangle

其中

|a\rangle|b\rangle=|a\rangle \otimes |b\rangle = \begin{bmatrix}xu\\xv\\\vdots\\yu\\yv\\\vdots\end{bmatrix}

例如,这个复杂系统中包括2个自旋向下和1个自旋向上:

\begin{equation}\begin{split}|101\rangle &=|1\rangle \otimes |0\rangle \otimes |1\rangle \\ &=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix}0&0&0&0&0&1&0&0\end{bmatrix}^T\end{split}\end{equation}

很快,我们就会看到,这是多么强大的系统,传统的计算是无法达到的,下面是一个3个量子位的示例:

\begin{equation}\begin{split}\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle +|1\rangle) \otimes |1\rangle \otimes |1\rangle &\equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(|011\rangle+|111\rangle) \\ &\equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(|3\rangle + |7\rangle)\end{split}\end{equation}

下面的方程描述了2个量子位的系统,它由两个粒子的自旋组成。

因此,新的量子态有4个基向量,分别是

|00\rangle、|01\rangle、|10\rangle、|11\rangle

,相应的是4个复数的系数。

|\mathbb \alpha\rangle=\alpha_{00}|00\rangle+\alpha_{01}|01\rangle+\alpha_{10}|10\rangle+\alpha_{11}|11\rangle

如果是3量子位,就是8个基向量了:

|\psi_2\rangle=\alpha_{0}|000\rangle+\alpha_{1}|001\rangle+\alpha_{2}|010\rangle+\alpha_{3}|011\rangle+\alpha_{4}|100\rangle\alpha_{5}|101\rangle\alpha_{6}|110\rangle+\alpha_{7}|111\rangle

按照这样的组合,64量子位,则有:

基向量。美国最大的彩票头奖为16亿美元,以2的64次幂表示数大约能赢得300亿次最大的彩票。凭借64量子位,我们可以使用这些十亿亿系数(维度)来编码和处理大量数据。量子位赢得第二回合。

线性地增加量子位,就能指数级扩展信息容量。

收获不小!这样 我们就可以在高维度空间处理信息了。但是无法直接读取系数,所有的计算中,读取量子位的唯一方法是对其进行测量,从而仅返回状态之一(而不返回系数)。

测量量子位时,容量与位无异,在这种约束下设计算法非常棘手。我们有一个涡轮增压的概念,但是做事的方式很尴尬,稍后会再谈。

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至此,已经理解了量子位,可以类比于传统计算机中的比特,但比它更强大。在传统计算机中,我们通过

+, -, ×, ÷

这些运算符操作比特,在量子计算机中,就不能这么做了。那么,如何操作量子位?请看下篇。

原文链接:https://medium.com/@jonathan_hui/qc-what-are-qubits-in-quantum-computing-cdb3cb566595

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原始发表:2020-05-28,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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