Python洛伦兹混沌系统
洛伦兹和蝴蝶效应洛伦兹系统仿真
洛伦兹和蝴蝶效应
1961年冬天，年轻的麻省理工学院气象学助教洛伦兹(1917-2008)，在一台Royal McBee LPG-30计算机上，用一个仅包含12个微分方程的简单模式进行气候模拟。在完成了一次计算后，他想用同样的模式重复。为了节省时间，他没有从头到尾重复这次计算，而是从程序的中段开始。于是他把上一次计算到这个位置输出的数据，作为这次计算的初始条件。然后，为了避开计算机恼人的噪音，他出去喝了杯咖啡。回来的时候，他被惊呆了。根据常识，同样的程序和数据显然会导致同样的结果。但是第二次的预报结果与上一次大不一样。开始他认为是计算机的故障，排除了这种可能后，他发现，他输入的不是完整的数据。他当时用的计算机，储存数据的容量是小数点后六位数字，但是在打印输出数据时，为了节省纸张，只输出小数点后三位数字。而洛伦兹在给第二次计算输入初始条件的时候，只输入了小数点后的三位，与精确的数据有不到0.1％的误差。就是这个原本应该忽略不计的误差，使最终的结果大相径庭。这让洛伦兹意识到，完美的长期天气预报是不可能的。一个完美的预报不仅需要完美的气候模式，而且需要对温度、湿度、风和所有其他气象条件的精确测量，任何微小的误差，将导致完全不一样的气候现象。
1963年，洛伦兹在美国《气象学报》上发表了题为“确定性的非周期流”的论文，提出了在确定性系统中的非周期现象。第二年，他发表了另外一篇论文，指出对于模式中参数的微小改变将导致完全不一样的结果，使有规律的、周期性的行为，变成完全混乱的状态。不过，他的发现没有引起任何注意，直到十年后他提出“蝴蝶效应”这个通俗却惊人的想法，才让人们了解到这一现象的重要性。
1972年美国科学发展学会第139次会议上，洛伦兹发表了题为“可预测性：巴西一只蝴蝶扇动翅膀，能否在得克萨斯州掀起一场龙卷风”的演讲。他认为，一个微小的初始条件变化可能导致一连串逐渐放大的改变，最终导致完全不同的结果——这个看似荒谬的论断，打碎了所有人关于“因果决定论可预测度”所存的幻想，最终产生了当今世界最伟大的理论之一——“混沌理论”。洛伦兹后来说，他原本想用海鸥做比喻的。一个同事告诉他，用“蝴蝶”可能会更生动，而选择“巴西”则纯粹是为了押韵。
1987年，《纽约时报》科技部主任詹姆斯格莱克（James Gleick）在采访了200多名科学家后，撰写了一本后来享誉世界的畅销书《混沌：开创新科学》。第一章的标题就是“蝴蝶效应”，介绍了洛伦兹第一次发现混沌现象的过程，不过他给蝴蝶搬了个家——“今天北京一只蝴蝶拍翅对空气造成扰动，可能触发下个月纽约的暴风雨。”这本书后来被翻译成19种文字，也在上世纪90年代初给中国读者带来了“混沌”的概念。
这种最初只在气象预报中出现的现象，后来被发现存在于众多的自然和社会系统中，诸如人口的涨落、精神病的发病、心率的节奏、雪花的形状、股市的波动、汇率的变化等，都存在混沌现象。在洛伦兹之后，在计算机的帮助下，人类开始用“混沌理论”研究自然界和社会中的不规则、不连续和不稳定的方面，开启了简化复杂现象的可能性。(以上内容来自于：https://www.douban.com/group/topic/3067804/)
洛伦兹系统仿真
Lorenz发现了第一个混沌吸引子——Lorenz系统，从此揭开了混沌研究的序幕。人们不断发现新的混沌奇异性，不断地加深与统一对混沌的理解。混沌系统是指在一个确定性系统中，存在着貌似随机的不规则运动，其行为表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象。混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。
常微分方程表示的Lorenz混沌系统为：
根据仿真动态图，两条空间曲线在10s内(动态图中作了慢速播放)，大致经历了：
- 几乎重叠——————小幅分离——————各自独立运行
仿真结论：
- 确定系统表现出不确定性，即混沌特性
- 长期气象预报非常困难
%matplotlib notebook
# %matplotlib qt
from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import mpl_toolkits.mplot3d.axes3d as p3
import matplotlib.animation as animation
from IPython.display import HTML
#仿真数据
def lorenz(w, t, p, r, b):
x, y, z = w #初值
return np.array([p*(y-x), x*(r-z)-y, x*y-b*z])
t = np.arange(0, 10.0, 0.01) # 创建时间点
# 调用ode对lorenz进行求解, 用两个不同但很接近的初始值
track1 = odeint(lorenz, (1.0, 1.00, 10.0), t, args=(10.0, 28.0, 3.0))
track2 = odeint(lorenz, (1.0, 1.00, 10.1), t, args=(10.0, 28.0, 3.0))
#转置以配合后面set_data函数的要求
track1 = track1.T
track2 = track2.T
#绘图
fig = plt.figure()
ax = p3.Axes3D(fig)
# Setting the axes properties,坐标范围要够大
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_xlim3d([-20.0, 20.0])
ax.set_ylim3d([-25.0, 25.0])
ax.set_zlim3d([0.0, 45.0])
ax.set_title('Lorenz chotic system')
# 设置小球和线形
ball1, = ax.plot([],[],linestyle='None',marker='o',\
markersize=10,markeredgecolor='r',\
color='orange',markeredgewidth=2)
ball2, = ax.plot([],[],linestyle='None',marker='o',\
markersize=10,markeredgecolor='green',\
color='orange',markeredgewidth=2)
line1, = ax.plot([],[],color='r')
line2, = ax.plot([],[],color='green')
def init():
#注意set_data只能对二维数据进行，所以是0：2
#set_3d_properties(track1[2,0])对第3维进行set_data
ball1.set_data(track1[0:2, 0])
ball1.set_3d_properties(track1[2,0])
ball2.set_data(track2[0:2, 0])
ball2.set_3d_properties(track2[2,0])
line1.set_data(track1[0:2, 0])
line1.set_3d_properties(track1[2,0])
line2.set_data(track2[0:2, 0])
line2.set_3d_properties(track2[2,0])
return ball1,ball2,line1,line2
def animate(i):
ball1.set_data(track1[0:2, i])
ball1.set_3d_properties(track1[2,i])
ball2.set_data(track2[0:2, i])
ball2.set_3d_properties(track2[2,i])
line1.set_data(track1[0:2, :i])
line1.set_3d_properties(track1[2,:i])
line2.set_data(track2[0:2, :i])
line2.set_3d_properties(track2[2,:i])
return ball1,ball2,line1,line2
line_ani = animation.FuncAnimation(fig, animate, np.arange(1,t.size), init_func=init,
interval=30, repeat=False, blit=False)
plt.show()
<IPython.core.display.Javascript object>
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