分治、动态规划、回溯、贪心一锅炖
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数据结构与算法系列专栏第四弹来袭，往期专栏链接如下：
初学者一听到算法思想，就会觉得它们高深莫测，只能望而却步。
但如果你看过《事实》这本书，你就不会被大脑中的惯性思维所影响。只要我们理解算法思想的关键点，多做题练习并加深理解记忆。其实算法思想就像切菜一样简单。
上一篇算法系列专栏中我们搞明白了递归。其实递归这种编程技巧是很多算法的基础。
还看过的同学建议先移步这篇专栏你真的懂递归吗？
比如本文讲到的这几种算法思想，大部分都是基于递归思想基础上的。
一句话理解四种算法思想
分治：分而治之，先解决子问题，再将子问题的解合并求出原问题。
贪心：一条路走到黑，选择当下局部最优的路线，没有后悔药。
回溯：一条路走到黑，手握后悔药，可以无数次重来。(英雄联盟艾克大招无冷却)。
动态规划：上帝视角，手握无数平行宇宙的历史存档，同时发展出无数个未来。
接下来我们一起庖丁解牛，将这几种算法思想一锅炖。
分治算法 Divide and Conquer
分治算法思想很大程度上是基于递归的，也比较适合用递归来实现。顾名思义，分而治之。一般分为以下三个过程：
- 分解：将原问题分解成一系列子问题。
- 解决：递归求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解。
- 合并：将子问题的结果合并成原问题。
比较经典的应用就是归并排序 (Merge Sort) 以及快速排序 (Quick Sort) 等。我们来从归并排序理解分治思想，归并排序就是将待排序数组不断二分为规模更小的子问题处理，再将处理好的子问题合并起来。
上代码。
const mergeSort = function(arr) {
const len = arr.length;
if (len > 1) {
// 对半分解
const middle = Math.floor(len / 2);
const left = arr.slice(0, middle);
const right = arr.slice(middle, len);
let i = 0;
let j = 0;
let k = 0;
// 分别对左右进行排序
mergeSort(left);
mergeSort(right);
while(i < left.length && j < right.length) {
if (left[i] < right[j]) {
arr[k] = left[i];
i++;
} else {
arr[k] = right[j];
j++;
}
k++;
}
// 检查余项
while(i < left.length) {
arr[k] = left[i];
i++;
k++;
}
while(j < right.length) {
arr[k] = right[j];
j++;
k++;
}
}
return arr;
}
复杂度分析
- 时间复杂度：O(nlogn)
- 空间复杂度：O(n)
动态规划 Dynamic Programming
LeetCode真题
70. 爬楼梯
https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/
虽然动态规划的最终版本 (降维再去维) 大都不是递归，但解题的过程还是离开不递归的。新手可能会觉得动态规划思想接受起来比较难，确实，动态规划求解问题的过程不太符合人类常规的思维方式，我们需要切换成机器思维。
使用动态规划思想解题，首先要明确动态规划的三要素。
动态规划三要素
重叠子问题最优子结构状态转移方程
重叠子问题
切换机器思维，自底向上思考。
爬第 n 阶楼梯的方法数量，等于两部分之和：
- 爬上 n-1 阶楼梯的方法数量
- 爬上 n-2 阶楼梯的方法数量
最优子结构
子问题的最优解能够推出原问题的优解。
状态转移方程
dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2]
具备三要素，确认边界条件，初始化状态，开始切菜：
dp[0] = 1dp[1] = 1
const climbStairs = function(n) {
const dp = [];
dp[0] = 1;
dp[1] = 1;
for (let i = 2; i <= n; i++) {
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
return dp[n];
};
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
优化
在此基础上，我们还可以通过压缩空间来对算法进行优化。因为 dp[i]只与 dp[i-1] 和 dp[i-2] 有关，没有必要存储所有出现过的 dp 项，只用两个临时变量去存储这两个状态即可。
const climbStairs = function(n) {
let a1 = 1;
let a2 = 1;
for (let i = 2; i <= n; i++) {
[a1, a2] = [a2, a1 + a2];
}
return a2;
}
复杂度分析
- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(1)
贪心算法 Greedy
最近某音很火的贪心土味情话
喂，不是吧。今天喝了脉动啊，吃了果冻啊，但是，还是忍不住对你心动啊。
回到算法中，贪心算法是动态规划算法的一个子集，可以更高效解决一部分更特殊的问题。实际上，用贪心算法解决问题的思路，并不总能给出最优解。因为它在每一步的决策中，选择目前最优策略，不考虑全局是不是最优。
LeetCode真题
LeetCode 455. 分发饼干
https://leetcode-cn.com/problems/assign-cookies/description/
思路
贪心算法+双指针求解。
- 给一个孩子的饼干应当尽量小并且能满足孩子，大的留来满足胃口大的孩子
- 因为胃口小的孩子最容易得到满足，所以优先满足胃口小的孩子需求
- 按照从小到大的顺序使用饼干尝试是否可满足某个孩子
- 当饼干 j >= 胃口 i 时，饼干满足胃口，更新满足的孩子数并移动指针
i++ j++ res++ - 当饼干 j < 胃口 i 时，饼干不能满足胃口，需要换大的
j++
关键点
将需求因子 g 和 s 分别从小到大进行排序，使用贪心思想配合双指针，每个饼干只尝试一次，成功则换下一个孩子来尝试。
复杂度分析
- 时间复杂度：O(nlogn)
- 空间复杂度：O(1)
const findContentChildren = function (g, s) {
g = g.sort((a, b) => a - b);
s = s.sort((a, b) => a - b);
let gi = 0; // 胃口值
let sj = 0; // 饼干尺寸
let res = 0;
while (gi < g.length && sj < s.length) {
if (s[sj] >= g[gi]) {
gi++;
sj++;
res++;
} else {
sj++;
}
}
return res;
};
回溯算法 Backtracking
回溯算法本质上就是枚举，使用摸着石头过河的查找策略，还可以通过剪枝少走冤枉路。
LeetCode真题
LeetCode 17.电话号码的字母组合
https://leetcode-cn.com/problems/letter-combinations-of-a-phone-number/
思路
使用回溯法进行求解，回溯是一种通过穷举所有可能情况来找到所有解的算法。如果一个候选解最后被发现并不是可行解，回溯算法会舍弃它，并在前面的一些步骤做出一些修改，并重新尝试找到可行解。究其本质，其实就是枚举。
如果没有更多的数字需要被输入，说明当前的组合已经产生。
如果还有数字需要被输入：
- 遍历下一个数字所对应的所有映射的字母
- 将当前的字母添加到组合最后，也就是
str + tmp[r]
关键点
在for循环中调用递归。
复杂度分析
N+M 是输入数字的总数
- 时间复杂度：O(3^N * 4^M)
- 空间复杂度：O(3^N * 4^M)
const letterCombinations = function (digits) {
if (!digits) {
return [];
}
const len = digits.length;
const map = new Map();
map.set('2', 'abc');
map.set('3', 'def');
map.set('4', 'ghi');
map.set('5', 'jkl');
map.set('6', 'mno');
map.set('7', 'pqrs');
map.set('8', 'tuv');
map.set('9', 'wxyz');
const result = [];
function generate(i, str) {
if (i == len) {
result.push(str);
return;
}
const tmp = map.get(digits[i]);
for (let r = 0; r < tmp.length; r++) {
generate(i + 1, str + tmp[r]);
}
}
generate(0, '');
return result;
};