计算机模拟定积分的定义

fem178

发布于 2020-07-09 11:14:28

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发布于 2020-07-09 11:14:28

文章被收录于专栏：数值分析与有限元编程数值分析与有限元编程数值分析与有限元编程

黎曼(Riemann)对定积分的定义是：积分区间划分为无数子区间，子区间内任意一点的函数值乘以子区间的长度得到一个矩形面积，然后将这些矩形面积累加起来可以得到积分值。

计算π的值

定积分的精确定义

对于定积分

I= \int_0^1 \frac{4}{1+x^2} dx

,在[0,1]内随机取一个数r，通过

\frac{4}{1+r^2} dx

转换成矩形的高。再乘以矩形的宽度1，就是一个矩形的面积。

经过多达1000000000次的重复计算，并把这些面积相加，再除以重复计算的次数，得到的值应该是一个接近PI的实数。且计算的次数越多，误差就越小。以下是C++代码


#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <random>
#include <cmath>

const size_t n{ 1000000000 };
int main()
{
    std::random_device rd;
    std::default_random_engine rng{ rd() };

    std::uniform_real_distribution< > values{ 0.0, 1.0 };
    //生成随机数种子
    double sum{};

    for (auto counter{ 1 }; counter <= n; ++counter)
    {
        sum += (4 / (1 + pow(values(rng), 2)) );

    }

    std::cout << "the value of PI is:" << 
        std::fixed << std::setprecision(8) << sum / n << std::endl;

    system(" pause ");
    return 0;                                                                                
}

运行结果为