信用风险建模 in Python 系列 4 - 混合模型概述
信用风险建模 in Python 系列 4 - 混合模型概述
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引言
本文是「信用风险建模 in Python」系列的第四篇，其实在之前的 Cufflinks 那篇已经埋下了信用风险的伏笔，
上两贴介绍了独立模型下的二项模型和泊松模型，它们最大的缺点是不能够捕捉到借贷人之间的违约相关。信贷交易对手都处在同一经济环境中，它们的成功和偿还债务能力应该会有些相关的。因此，一个好的信用模型一定要考虑违约相关性，接下来介绍的混合模型就可以做到这点。
混合模型的主旨就是将违约概率随机化，从实操上来讲，将违约概率和一个随机变量 Z 挂钩。那么第 n 个借贷人的条件违约概率（conditional probability）为
其中 Z 是连续随机变量，它的 PDF 和 CDF 用 fZ(z) 和 FZ(z) 来表示。
到此可知，设计混合模型由两部分组成
- Z 的分布形式
- p(Z) 的函数形式
对于 p(Z)，不管其具体形式如何，我们可用
来表示其期望。
条件独立
在混合模型中，我们把原来违约是独立同分布（independent identically distributed, IID）的假设改成是条件独立同分布的。给定 Z，违约事件是独立的，用数学表达式可写成
接下来我们来推导
从上面条件期望和条件方差的结果可知，它们都是随机变量，而且可写成条件概率 p(Z) 的函数；从普通期望和方差可知，它们都可写成“条件概率 p(z) 的期望
”的函数。
违约相关
在独立模型的假设下，借款人之间的违约是独立的，因此违约相关性为零。在混合模型下，违约相关性不再为零。证明如下，
从上面结果可知，两个借贷人之间的协方差等于条件违约概率的方差。如果每个借贷人的借贷行为只受一个 Z 影响，那么协方差和方差等价。目前所有结果还属于通用结果，具体 Z 的分布和 p(Z) 的形式和模型有关。
违约个数分布
现在我们可以创建组合损失分布并考虑其收敛性质了。对于一个含有 N 个借贷人的信用组合，假设所有借贷人的违约概率和损失暴露都为 p 和 c，其损失变量可写成
其中
是整个组合违约的个数。由于每个借贷人的损失暴露都为 c，因此损失分布可以在一组 {0c, 1c, 2c, …, Nc} 离散点上构建，组合最小损失为0，最大损失为 Nc。对于离散的损失值，对应的概率质量函数（probability mass function, PMF）为
对于 k = 0, 1, 2, …, N。
由于违约不独立，那么直接计算
不容易，这时推导需要用违约条件独立的性质，即
互相独立。那么给定 Z，
是服从二项分布的，我们有
在 Z 上做积分得到
上面积分是否有解析解要看 p(z) 和 fZ(z) 的形式，但即便没有解析解，这个一维数值积分也不会太复杂。接下来推导 的均值和方差。
收敛性质
在独立模型中分析收敛性质时用到切比雪夫不等式（Chebyshev’s inequality），在混合模型中同样用它来分析。
从上式可知，当借贷人数 N 很大时，
在不再收敛于
，而是跟 p(Z) 的方差有关，这个性质和独立模型相比有很大区别。
如果我们将切比雪夫不等式用在
，推导可得
从上式可知，当借贷人数 N 很大时，
概率收敛于 p(Z)。
总而言之，对于大型分散组合，违约比率收敛于 p(Z)，因此如何设计 p(Z) 和 Z 非常重要，比如 p(Z) 必须能够违约相关并捕捉分肥尾风险。之后我们会详细分析六类具体的混合模型，它们分别是：
- Beta-Binomial
- Logit-Normal
- Probit-Normal
- Gamma-Poisson
- Lognormal-Poisson
- Weibull-Poisson
它们都写成 A-B 通用形式，其中 Z 服从 A 分布，而 p(Z) 服从 B 分布。模型虽多而杂，但混合模型本质就是把玩各种 A 和 B 分布来量化违约相关。
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