中值定理及导数的应用

宋天伦

发布于 2020-07-16 11:07:08

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发布于 2020-07-16 11:07:08

一、微分中值定理

1.费马引理

设函数 f(x) 在点 x_{0} 的某邻域 U(x_{0}) 内有定义，并且在 x_{0} 处可导，如果对任意 x \in U(x_{0}) 有 f(x) \leq f(x_{0}) （或 f(x) \geq f(x_{0}) ），则 f’(x_{0})=0 。

证明费马引理

不妨假设\forall x\in U(x_{0}),f(x) \leq f(x_{0})

当x \to x_{0}^{+},\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \leq 0

由保号性知：f’_{+}(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}^{+}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \leq 0

当x \to x_{0}^{-},\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \geq 0

由保号性知：f’_{-}(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}^{-}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \geq 0

又\because f’(x_{0}) \exists ，故f’_{+}(x_{0}) = f’_{-}(x_{0})

又f’_{+}(x_{0})\leq 0 , f’_{-}(x_{0}) \geq 0

从而f’(x_{0}) = f’_{+}(x_{0}) = f’_{-}(x_{0}) = 0

另

可导函数的极值点一定是驻点

极值点：

\forall x \in \bigcup^{0}(x_{0})

如果，当

注（关于极值点）

端点一定不是极值点
极值点不一定是连续点
区间内部的最值点一定是极值点
区间内部唯一的极值点也一定是最值点

费马引理的应用

证某函数一阶导存在“零点”，已知不等式（内部找极值）

2. 罗尔定理

设函数f(x) 满足：（1）在闭区间 [a,b] 上连续；（2）在开区间 (a,b) 内可导；（3） f(a) = f(b) ，则存在 \xi \in (a,b) ，使得 f’(\xi)=0 。

证罗尔定理

\because f(x) 在 [a,b]上连续

故f(x)在[a,b]上一定既有最大值M，也有最小值m

若M=m，此时f(x) = C = M

从而f’(x) = 0，当 \xi 取值(a,b)内任何一点时，f’(\xi)=0

若M \not= m

又f(a)=f(b)，则\exists \xi \in (a,b)，使得f(\xi) = M或f(\xi) = m

由费马引理知 f’(\xi) = 0

综上所述， \exists \xi \in (a,b),使得f’(\xi)=0

罗尔定理的应用

要证f^{(n)}(\xi)=0
要证F(\xi,f(\xi),f’(\xi))

难点

如何找原函数
如何找点

3. 拉格朗日中值定理

设函数f(x) 满足：（1）在闭区间 [a, b] 上连续；（2）在开区间 (a, b) 内可导；则存在 \xi \in (a,b) ，使得 \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f’(\xi) 或 f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a) ， (a< \xi <b )$``$f(x_{0} + \bigtriangleup x)-f(x_{0}) = f’(x_{0} + \theta \bigtriangleup x) \bullet \bigtriangleup x, (x < \theta < 1)$``$x_{0} \in (a,b) ， \bigtriangleup x 可正也可负。

注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当f(a) = f(b) 时就是罗尔定理。

证拉格朗日中值定理

\frac{f(b)-f(a)}{b-a} - f’(x) = 0

(\frac {f(b)-f(a)}{b-a} \bullet x - f(x))’ = 0

令F(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \bullet (x-a)-f(x)

F(a) = -f(a) = F(b) = f(b) - f(a) - f(b) = -f(a)

又F(x)在[a, b]上连续，在(a, b) 上可导，由罗尔定理知：

\exists \xi \in (a, b) , 使得F’(\xi) = 0 , 即\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f’(\xi)

拉格朗日中值定理的应用

求极限
综合题
证明
不等式
等式

- 既能罗尔，又能拉格朗日，拉格朗日更简单
- “双介值”问题
- 证明函数恒等式

核心

f() - f()

构造同一个函数在不同点的函数值之差

拉格朗日中值定理的推论

推论1 ：若 f(x) 在 (a, b) 内可导，且 f’(x) \equiv 0 ，则 f(x) 在 (a, b) 内为常数。
推论2 ：若f(x) ， g(x) 在 (a, b) 内皆可导，且f’(x) \equiv g’(x) ，则在 (a, b) 内 f(x) = g(x) + c ，其中 c 为常数。

4. 柯西中值定理

设函数f(x) 和 g(x) 满足：（1）在闭区间[a, b] 上皆连续；（2）在开区间 (a, b) 内皆可导；且 g’(x) \not= 0 ，则存在 \xi \in (a, b) ，使得 \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)},(a < \xi < b)

灵魂：两个函数，一个中值

5. 泰勒定理（泰勒公式）

定理1 （佩亚诺余项的$n$阶泰勒公式）

设 f(x) 在 x_{0} 处有 n 阶导数，则存在 x_{0} 的一个领域，对于该邻域内的任一 x ，都有

f(x) = f(x_{0}) + \frac{f’(x_{0})}{1!}(x-x_{0}) + \frac{f’’(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2} + ... + \frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + R_{n}(x)(x \to x_{0}) ，

其中R_{n}(x) = o((x-x_{0})^{n})(x \to x_{0}) 成为佩亚诺余项。前面求极限的方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n ，所以对常用的初等函数如 e^{x} , sinx, cosx, ln(1+x) 和 (1+x)^{\alpha} （ \alpha 为实常数）等的 n 阶泰勒公式都要熟记。

定理2（拉格朗日余项的$n$阶泰勒公式）

设 f(x) 在包含 x_{0} 的区间 (a, b) 内有直到 n+1 阶的导数，则对 \forall x \in (a, b) ，有

f(x) = f(x_{0}) + \frac{f’(x_{0})}{1!}(x-x_{0}) + \frac{f’’(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2} + ... + \frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + R_{n}(x) ，

其中R_{n}(x) = \frac{f^{n+!}(\xi)}{n+1!}(x-x{0})^{n+1} （ \xi 在 x_{0} 与 x 之间）称为拉格朗日余项。带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式常用于证明题中。

佩亚诺余项和拉格朗日余项的区别： 1.余项形式不同 2.适用的范围不同 3.高阶导，阶数要求不同

注：当 x_{0} = 0 时， n 阶泰勒公式也称为 n 阶麦克劳林公式。如果 \lim_{n \to \infty}R_{n}(x) = 0 ，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。需要记住以下五个泰勒展开式：

泰勒展开式

e^{x} = 1+ x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ... + \frac{x^{n}}{n!} + o(x^{n}) ;

sinx = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} +... + \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1}) ;

cosx = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - ... + \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n!} + o(x^{2n}) ;

ln(1+x) = x- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - ... + \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n} + o(x^{n}) ;

(1+x)^{a} = 1+ ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^{2} + ... + \frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}x^{n} + o(x^{n})

arctanx = x - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{5}x^{5} -...+ \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1} + o(x^{2n-1})

泰勒公式的应用

计算（佩亚诺余项）求极限求f^{(n)}(0)
证明（拉格朗日余项）

- 等式
- 不等式

与高阶导数有关的证明题 Taylor什么时候用？除了 “e^{x} , sinx, coxs, ln(1+x), (1+x)^{\alpha} ” 外，剩下全是幂函数，此时泰勒优于洛必达。

题型一：求极限

须掌握

1. 公式
1. 方法
- 分母/分子的幂次已知，n = 幂指数
- 分子/分母的幂次均未知，加加减减后幂次最小的项，n = 幂指数

题型二：求$f^{(n)}(0)$

步骤

将f(x) 在x=0 处的泰勒公式写一遍
把题中出现的常用泰勒公式写一遍
让同类项前的系数相同。

同类项：所含字母相同，字母指数也相同的两个单项式。

Author: Frytea

Title: 中值定理及导数的应用

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