一、微分中值定理
1.费马引理
设函数 f(x) 在点 x_{0} 的某邻域 U(x_{0}) 内有定义,并且在 x_{0} 处可导,如果对任意 x \in U(x_{0}) 有 f(x) \leq f(x_{0}) (或 f(x) \geq f(x_{0}) ),则 f’(x_{0})=0 。
证明费马引理
不妨假设\forall x\in U(x_{0}),f(x) \leq f(x_{0})当x \to x_{0}^{+},\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \leq 0由保号性知:f’_{+}(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}^{+}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \leq 0当x \to x_{0}^{-},\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \geq 0由保号性知:f’_{-}(x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}^{-}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} \geq 0又\because f’(x_{0}) \exists ,故f’_{+}(x_{0}) = f’_{-}(x_{0})又f’_{+}(x_{0})\leq 0 , f’_{-}(x_{0}) \geq 0从而f’(x_{0}) = f’_{+}(x_{0}) = f’_{-}(x_{0}) = 0另
可导函数的极值点一定是驻点
极值点:
\forall x \in \bigcup^{0}(x_{0})如果,当
注(关于极值点)
- 端点一定不是极值点
- 极值点不一定是连续点
- 区间内部的最值点一定是极值点
- 区间内部唯一的极值点也一定是最值点
费马引理的应用
证某函数一阶导存在“零点”,已知不等式(内部找极值)
2. 罗尔定理
设函数f(x) 满足:(1)在闭区间 [a,b] 上连续;(2)在开区间 (a,b) 内可导;(3) f(a) = f(b) ,则存在 \xi \in (a,b) ,使得 f’(\xi)=0 。
证罗尔定理
\because f(x) 在 [a,b]上连续故f(x)在[a,b]上一定既有最大值M,也有最小值m若M=m,此时f(x) = C = M从而f’(x) = 0,当 \xi 取值(a,b)内任何一点时,f’(\xi)=0若M \not= m又f(a)=f(b),则\exists \xi \in (a,b),使得f(\xi) = M或f(\xi) = m由费马引理知 f’(\xi) = 0综上所述, \exists \xi \in (a,b),使得f’(\xi)=0罗尔定理的应用
- 要证f^{(n)}(\xi)=0
- 要证F(\xi,f(\xi),f’(\xi))
难点
- 如何找原函数
- 如何找点
3. 拉格朗日中值定理
设函数f(x) 满足:(1)在闭区间 [a, b] 上连续;(2)在开区间 (a, b) 内可导;则存在 \xi \in (a,b) ,使得 \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f’(\xi) 或 f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a) , (a< \xi <b )$``$f(x_{0} + \bigtriangleup x)-f(x_{0}) = f’(x_{0} + \theta \bigtriangleup x) \bullet \bigtriangleup x, (x < \theta < 1)$``$x_{0} \in (a,b) , \bigtriangleup x 可正也可负。
注:拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广,当f(a) = f(b) 时就是罗尔定理。
证拉格朗日中值定理
\frac{f(b)-f(a)}{b-a} - f’(x) = 0(\frac {f(b)-f(a)}{b-a} \bullet x - f(x))’ = 0令F(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \bullet (x-a)-f(x)F(a) = -f(a) = F(b) = f(b) - f(a) - f(b) = -f(a)又F(x)在[a, b]上连续,在(a, b) 上可导,由罗尔定理知:\exists \xi \in (a, b) , 使得F’(\xi) = 0 , 即\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f’(\xi)拉格朗日中值定理的应用
- 求极限
- 综合题
- 证明
- 不等式
- 等式
- 既能罗尔,又能拉格朗日,拉格朗日更简单
- “双介值”问题
- 证明函数恒等式
核心
f() - f()构造同一个函数在不同点的函数值之差拉格朗日中值定理的推论
- 推论1 :若 f(x) 在 (a, b) 内可导,且 f’(x) \equiv 0 ,则 f(x) 在 (a, b) 内为常数。
- 推论2 :若f(x) , g(x) 在 (a, b) 内皆可导, 且f’(x) \equiv g’(x) ,则在 (a, b) 内 f(x) = g(x) + c ,其中 c 为常数。
4. 柯西中值定理
设函数f(x) 和 g(x) 满足: (1)在闭区间[a, b] 上皆连续;(2)在开区间 (a, b) 内皆可导;且 g’(x) \not= 0 ,则存在 \xi \in (a, b) ,使得 \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)},(a < \xi < b)
灵魂:两个函数,一个中值
5. 泰勒定理(泰勒公式)
定理1 (佩亚诺余项的$n$阶泰勒公式)
设 f(x) 在 x_{0} 处有 n 阶导数,则存在 x_{0} 的一个领域,对于该邻域内的任一 x ,都有
f(x) = f(x_{0}) + \frac{f’(x_{0})}{1!}(x-x_{0}) + \frac{f’’(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2} + ... + \frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + R_{n}(x)(x \to x_{0}) ,其中R_{n}(x) = o((x-x_{0})^{n})(x \to x_{0}) 成为佩亚诺余项。前面求极限的方法中用泰勒公式就是这种情形,根据不同情形取适当的n ,所以对常用的初等函数如 e^{x} , sinx, cosx, ln(1+x) 和 (1+x)^{\alpha} ( \alpha 为实常数)等的 n 阶泰勒公式都要熟记。
定理2(拉格朗日余项的$n$阶泰勒公式)
设 f(x) 在包含 x_{0} 的区间 (a, b) 内有直到 n+1 阶的导数,则对 \forall x \in (a, b) , 有
f(x) = f(x_{0}) + \frac{f’(x_{0})}{1!}(x-x_{0}) + \frac{f’’(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2} + ... + \frac{f^{n}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n} + R_{n}(x) ,其中R_{n}(x) = \frac{f^{n+!}(\xi)}{n+1!}(x-x{0})^{n+1} ( \xi 在 x_{0} 与 x 之间)称为拉格朗日余项。带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式常用于证明题中。
佩亚诺余项和拉格朗日余项的区别:
1.余项形式不同
2.适用的范围不同
3.高阶导,阶数要求不同
注:当 x_{0} = 0 时, n 阶泰勒公式也称为 n 阶麦克劳林公式。如果 \lim_{n \to \infty}R_{n}(x) = 0 ,那么泰勒公式就转化为泰勒级数,这在后面无穷级数中再讨论。需要记住以下五个泰勒展开式:
泰勒展开式
e^{x} = 1+ x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ... + \frac{x^{n}}{n!} + o(x^{n}) ; sinx = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} +... + \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1}) ; cosx = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - ... + \frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n!} + o(x^{2n}) ; ln(1+x) = x- \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - ... + \frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n} + o(x^{n}) ; (1+x)^{a} = 1+ ax + \frac{a(a-1)}{2!}x^{2} + ... + \frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}x^{n} + o(x^{n}) arctanx = x - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{5}x^{5} -...+ \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}x^{2n-1} + o(x^{2n-1}) 泰勒公式的应用
- 计算(佩亚诺余项)求极限求f^{(n)}(0)
- 证明(拉格朗日余项)
与高阶导数有关的证明题
Taylor什么时候用?除了 “e^{x} , sinx, coxs, ln(1+x), (1+x)^{\alpha} ” 外,剩下全是幂函数,此时泰勒优于洛必达。
题型一:求极限
须掌握
-
- 公式
-
- 方法
- 分母/分子 的幂次已知,n = 幂指数
- 分子/分母 的幂次均未知,加加减减后幂次最小的项,n = 幂指数
题型二:求$f^{(n)}(0)$
步骤
- 将f(x) 在x=0 处的泰勒公式写一遍
- 把题中出现的常用泰勒公式写一遍
- 让同类项前的系数相同。
同类项:所含字母相同,字母指数也相同的两个单项式。
Author: Frytea
Title: 中值定理及导数的应用
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