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数值微分|向前差分和向后差分

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fem178
发布2020-08-25 10:51:54
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发布2020-08-25 10:51:54
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中心差分法详见:

数值微分|中心差分法(Central Finite Difference Approximations)

求区间端点的导数时,不能用中心差分法。考虑在

n

个离散点

x_0,x_1,x_2,...,x_n

给出函数的情况,由于中心差分在

x

的两侧使用函数的值,因此我们将无法计算导数

x_0,x_n

。显然,需要只在

x

的一侧求值的差分表达式。这些表达式称为向前和向后有限差分(forward and backward finite difference approximations)。

  • 一阶向前和向后差分

由泰勒公式可得到:

f(x+h)=f(x)+hf^{\prime}(x)+\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(x)+\frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(x)+\frac{h^4}{4!}f^{(4)}(x)+\cdots \qquad(1)
f(x-h)=f(x)-hf^{\prime}(x)+\frac{h^2}{2!}f^{\prime\prime}(x)-\frac{h^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(x)+\frac{h^4}{4!}f^{(4)}(x)-\cdots \qquad(2)
f(x+2h)=f(x)+2hf^{\prime}(x)+\frac{(2h)^2}{2!}f^{\prime\prime}(x)+\frac{(2h)^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(x)+\frac{(2h)^4}{4!}f^{(4)}(x)+\cdots \qquad(3)
f(x-2h)=f(x)-2hf^{\prime}(x)+\frac{(2h)^2}{2!}f^{\prime\prime}(x)-\frac{(2h)^3}{3!}f^{\prime\prime\prime}(x)+\frac{(2h)^4}{4!}f^{(4)}(x)-\cdots \qquad(4)

由(1)可得

f^{\prime}(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{h}{2}f^{\prime\prime}(x)-\frac{h^2}{3!}f^{\prime\prime\prime}(x)-\frac{h^4}{4!}f^{(4)}(x)-\cdots \qquad(5)

或者

f^{\prime}(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+ O(h) \qquad(6)

同理,由(2)可得

f^{\prime}(x) = \frac{f(x)-f(x-h)}{h}+ O(h) \qquad(7)

(6)称为求

f^{\prime}(x)

的一阶向前差分公式。(7)称为求

f^{\prime}(x)

的一阶向后差分公式。

由(1)(3)可得求

f^{\prime\prime}(x)

的一阶向前差分公式:

f^{\prime\prime}(x) = \frac{f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^2}+ O(h) \qquad(7)

一阶向前差分法的系数见下表。

一阶向后差分法的系数见下表。

  • 二阶向前和向后差分

由(1)(3)消去

f^{\prime\prime}(x)

可得

f(x+2h)-4f(x+h)= -3f(x)-2hf^{\prime}(x)+\frac{h^4}{2}f^{(4)}(x)+\cdots \qquad(8)

f^{\prime}(x) = \frac{-f(x+2h)+4f(x+h)-3f(x)}{2h}+ \frac{h^2}{4}f^{(4)}(x)+\cdots \qquad(9)

或者

f^{\prime}(x) = \frac{-f(x+2h)+4f(x+h)-3f(x)}{2h}+ O(h^2) \qquad(10)

(10)称为求

f^{\prime}(x)

的二阶向前差分公式。二阶向前差分法的系数见下表。

二阶向后差分法的系数见下表。

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原始发表:2020-08-24,如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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