矩阵分析笔记（四）子空间

线性子空间概念

定义：设W是\mathbb{F}上线性空间V的一个非空子集，若W关于V的加法和数乘预算也构成线性空间，则称W是V的一个线性子空间，简称子空间

定理（线性子空间的判定定理）：设W是\mathbb{F}上线性空间V的一个非空子集，则W是V的子空间的充要条件是：

• 若\alpha, \beta \in W，则\alpha + \beta \in W
• 若\alpha \in W, k \in \mathbb{F}，则k\alpha \in W

也就是说，只需要验证对加法和数乘封闭即可

例题1

设A为实数（或复数）m\times n矩阵，证明：齐次线性方程组Ax=0的所有解（包括零解）的集合构成实（或复）数域\mathbb{R}（或\mathbb{C}）上的线性空间N(A)

证明：设x_1, x_2\in N(A)是齐次方程组Ax=0的两个解，下面证明x_1+x_2\in N(A)以及\lambda x\in N(A)

因为A(x_1+x_2)=Ax_1+Ax_2=0，所以x_1+x_2 \in N(A)

又因为\lambda \in \mathbb{F}，且A(\lambda x) = \lambda (Ax)=0，所以\lambda x\in N(A)

则齐次线性方程Ax=0的所有解的集合构成数域\mathbb{F}上的线性空间N(A)

生成子空间

定义：设\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s是数域F上的线性空间V中的向量组，则该向量组所有可能的线性组合所构成的集合

是V的线性子空间，称为V的生成子空间，记作span\{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s\}

反之，给定V的一个线性子空间W，若能找到向量组\beta_1,\beta_2,...,\beta_r使得恰有W=span\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_r\}，则称向量组\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r为子空间W的一个生成向量组，简称生成组

生成子空间的性质

1. W=span\{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s\}，则\alpha_1,\alpha_2, ..., \alpha_s \in W
2. span\{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s\}=span\{\beta_1, \beta_2,...,\beta_t\}\Leftrightarrow \alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s与\beta_1,\beta_2,...,\beta_t等价
3. \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s的极大线性无关组是span\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\}的基，故\dim (span\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\})=rank(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)

基扩张定理

设\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}是V^n中一组线性无关向量，则V^n中存在n-r个向量\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},...,\alpha_n，使得

构成V^n的基

证明：若r=n，则结论显然成立

若r<n\alpha_{r+1}\in V^n，使得\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1}线性无关

反证法：若对任意的非零向量\beta \in V^n，\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r,\beta线性相关，则存在不全为0的数k_1,k_2,...,k_r,k，使得

显然k\neq 0，所以有

由此得到，V^n任意向量均能被\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r线性表示，这与r<n

故若r<n\alpha_{r+1}\in V^n，使得\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1}线性无关

若r+1=n，则证明完毕

若r+1<n

例题2

设\alpha_1=(1,2,-1,0)^T,\alpha_2=(0,1,2,3)^T,\alpha_3=(2,3,-4,-3)^T，求span\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}的基与维数

解：

$$ \begin{align*} A &= \begin{bmatrix}\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\2 & 1 & 3\\ -1 & 2 & -4\\ 0 & 3 & -3 \end{bmatrix} \\ &\to \begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align*} $$

因为\alpha_1,\alpha_2是线性无关的，且\alpha_3=2\alpha_1-\alpha_2

所以\alpha_1,\alpha_2为span\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}的基，\dim(span\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\})=2

子空间的交与和

设U,W是V的子空间

1. U\cap W=\{\alpha\mid \alpha \in U\ \&\ \alpha \in W\}V的子空间，称为U,W的交空间
2. U+W=\{\alpha_1+\alpha_2\mid \alpha_1\in U\ \& \ \alpha_2\in W\}V的子空间，称为U,W的和空间

定理：设

$$ U=span\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\}\\ W=span\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\} $$

则U+W=span\{\alpha_1, ...,\alpha_s,\beta_1,...,\beta_t\}

定理（维数公式）：设U和W是线性空间V的两个子空间，则