矩阵分析（十一）酉矩阵、正交矩阵

酉矩阵

若n阶复矩阵A满足

则称A是酉矩阵，记为A\in U^{n\times n}

设A\in C^{n\times n}，则A是酉矩阵的充要条件是A的n个列（或行）向量是标准正交向量组

酉矩阵的性质

1. A^{-1}=A^H\in U^{n \times n}
2. \mid \det A\mid=1
3. A^T\in U^{n\times n}
4. AB, BA\in U^{n\times n}
5. 酉矩阵的特征值的模为1
6. 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵

酉变换

设V是n维酉空间，\mathscr{A}是V的线性变换，若\forall \alpha, \beta \in V都有

正交矩阵

若n阶实矩阵A满足

则称A是正交矩阵，记为A\in E^{n\times n}

设A\in R^{n\times n}，则A是正交矩阵的充要条件是A的n个列（或行）向量是标准正交向量组

正交矩阵的性质

1. A^{-1}=A^T\in E^{n\times n}
2. \det A=±1
3. AB,BA\in E^{n\times n}

正交变换

设V是n维欧氏空间，若线性变换\mathscr{B}满足\forall \alpha,\beta\in V都有

设\mathscr{A}是酉空间（或欧式空间）V的线性变换，则下列命题等价：

1. \mathscr{A}是酉变换（或正交变换）
2. ||\mathscr{A}(\alpha)||=||\alpha||，其中\forall \alpha \in V
3. \sigma将V的标准正交基变到标准正交基
4. 酉变换（或正交变换）在标准正交基下的矩阵表示是酉矩阵（或正交矩阵）

满秩矩阵的QR分解

若n阶实矩阵A\in \mathbb{C}^{n\times n}满秩，且

其中\alpha_1,...,\alpha_n是\mathbb{C}^{n\times n}中线性无关向量组

正交化

QR分解定理：A\in \mathbb{C}^{n\times n}，则存在酉矩阵Q和正线上三角阵R，使

且分解唯一