线性回归的推导与优化
写在前面的的话
大家好，我是小一
这是大话系列的第7节算法，也是本系列的第15篇原创文章。
文章较长，建议先收藏再阅读。文末附线性回归的思维导图。
线性回归
学习线性回归之前必须先要了解什么是回归，了解回归之前我们先从分类算法说起。
前面我们介绍的算法都属于分类算法，分类顾名思义就是预测样本对应的应该是哪一类，比如决策树实战中预测泰坦尼克号的乘客生还还是遇难，比如knn实战中预测对应的书写数字应该属于哪一类（即哪一个数字）等等这些都属于分类算法
可以看到分类算法对应的目标变量都是类别型，而在回归算法中对应的目标变量都是连续型。
像下面这个图，就是一个回归问题的预测。再举个简单的例子，比如可以根据房屋的面积、户型、楼层等指标预测房屋的价格，这也是一个回归问题，因为我们最终预测的结果不是一个类别型变量，而是一个连续型变量。
在回归算法中，我们一般会遇到单变量回归和多变量回归，这个其实和一元方程、多元方程是一样的。
如果只有一个自变量，我们称之为一元回归，如果有两个及以上的自变量，我们称之为多元回归，就好比区分一元方程和多元方程一样。
单变量线性回归
相关概念介绍
一元一次方程 y=ax+b中，元指的是未知数的个数（即x），次指的是未知数的最大幂数（即x的几次方），那么回归也就是针对输入变量x和输出变量y之间的一个映射，单变量线性回归只有一个输入特征，而且它的拟合曲线呈线性分布
就和上面的图中的直线一样，就是我们针对样本点预测出的一条最优拟合曲线。
在单变量线性回归中，最终的拟合曲线可能是条笔直的直线，也可能是一个曲线，但是它一定是线性分布的。
预测函数
首先先来了解一下我们线性回归算法的目的：确定一条最优的拟合曲线。说的通俗易懂点，就是确定一个能够使预测结果最优的函数方程。
所以针对给定的数据集x和y，预测函数会根据输入特征x计算输出值h(x)。其中输入和输出的函数关系如下：
可以看到我们最终的目的是确定这样的一个预测函数，使得预测函数h计算出来的值与真实值y的整体误差最小。
为了达到这个目的，我们需要找到合适的
的值，而这个
称之为单变量线性回归模型的模型参数。
损失函数
为了达到上面的目的，我们需要对整体的一个误差进行评估，求得在整体误差最小的情况下的
的值
我们在评估样本整体误差的时候，一般采用平方和计算整体的误差，所以我们的损失函数方程可以写成：
其中，
表示预测的值，
表示实际值，上标i表示第i个样本，1/2是为了方便计算，后面你会遇到。
通过上面损失函数我们可以计算整体样本的误差情况，为了模型预测的能尽可能准确，我们当然是希望整体误差越小越好
再观察一下损失函数，如果我们能够找到最优的
，那么预测的结果
也就更接近实际值
，样本的整体误差
也就最小。
所以问题又回到了找到合适的
的值
ok，在解决这个问题的时候，梯度下降算法就派上用场了。
梯度下降算法
首先在一个三维空间中，以
作为x轴，以
作为y轴，以损失函数
作为z轴，那我们的目的就是在找到z轴最小值的同时确定其所对应的x轴上的值
和y轴上的值
。
梯度算法的原理是，先随机选择一组
，同时选择一个参数α作为移动的步幅。然后，让x轴上的
分别向特定的方向移动一小步，这个步幅的大小由参数α决定。经过多次迭代之后，x轴和y轴上的值决定的点就慢慢的靠近z轴上的最小处。
上面这个图是从正上方视角去看刚才的那个三维空间。
我们随机选择的点在x0处，经过多次迭代之后，慢慢的靠近圆心处，也就是z轴上最小值附近。
这里面有一个核心问题需要注意，在x0处为什么会走向图中的x1处，为什么不是另一个方向呢？换个说法就是在x0处如何确定移动的方向？
想必你可能还记得一丢丢梯度的概念，ok，这一丢丢就够了
梯度就是在一个点处沿着该方向（梯度的方向）变化最快，那我们沿着梯度方向岂不是可以使得损失函数
增加的最少？
整理一下梯度的思路：我们要让
不停地迭代，由当前
的值，根据
的偏导数函数，计算
在
上的斜率，然后再乘以学习率α，就可以让
往
的方向迈一小步。
根据梯度下降公式：
我们可以确定
的更新过程：
其中，α是学习率（也就是每一步的步长），m是训练样本的个数，针对上面这个公式，我们可以在每一步去更新
的值，这样我们最终确定的
就是当前样本集的最优模型参数。
多变量线性回归
相关概念介绍
上面我们所说的线性回归是只有一个输入特征，但是在实际中并不全是单输入特征的场景，相比之下，多变量输入特征的案例会更多些。也就是这节的多变量线性回归
预测函数
此时多变量线性回归输出的y值由输入特征
共同决定，对应的此时的预测函数模型可以写成：
若
为常数1，则此时的预测函数可以写成：
根据向量乘法运算原则，预测函数也可以写成如下的形式：
写成向量形式的预测函数不但因为简洁，还可以在实现算法时通过Numpy的矩阵运算来提高效率
损失函数
同理此时的损失函数可以写成：
和单变量线性回归的形式相同，此时多变量线性回归的损失函数的矩阵形式可以写成：
X为m×(x+1)维的训练样本矩阵，Y表示由所有的训练样本的输出
构成的向量。
同样的道理，此时我们也可以通过梯度下降法计算损失函数来确定最优的参数θ，注意此时的θ表示的列向量
梯度下降法
根据单变量梯度下降公式：
我们可以得到此时的梯度下降法参数更新公式：
根据这个公式，我们在进行编码的时候可以按照这个顺序：
- 确定学习率α α太大意味着会直接跨过目的地，使得损失函数无法收敛；太小则意味着需要很多次才能达到目的地，会迭代较多次数，算法的效率较低。
- 确定参数起始点 比如我们可以让所有的参数都以1作为起点，即
。这样就可以通过预测值和成本函数计算在参数起始位置的成本。一般情况下可以选择极点附近作为起始点，或者根据实际情况灵活选择。
- 计算参数的下一组值 根据梯度下降的参数迭代公式，分别同时计算出新的θ的值，然后使用新的θ的值得到新的西预测函数，根据新的预测函数，代入成本函数算出新的成本。
- 确认成本函数是否收敛 通过比较新的成本和旧的成本看成本是不是变得越来越小。如果两次的差异小于误差范围，就可以近似认为已经找到了最小成本。如果大于，则需要重复计算参数θ，直到找到最优解。
模型优化
介绍
在线性回归的预测中，很容易出现两个问题：过拟合和欠拟合。
如果模型在训练集上学的过好，模型就会记住训练样本的细节，导致模型在测试集的泛化效果较差，这种现象称为过拟合（Overfitting）。与过拟合相对应的是欠拟合（Underfitting），即模型在训练集上的拟合效果较差。
针对欠拟合我们可以增加特征的维度、使用较少的训练样本等方式来进行模型优化；针对过拟合我们可以增加惩罚项、减少特征输入个数、使用更多的训练样本等来进行模型优化。
线性回归欠拟合
当线性回归模型欠拟合时我们通常使用增加特征维度来进行优化，例如我们可以通过增加特征多项式来让模型更好的拟合数据。
比如有两个特征x1、x2，我们可以增加两个特征的乘积x1x2作为新特征x3，或者增加
作为新特征x3等等，通过增加特征维度的方法让模型更好的拟合样本数据。
线性回归过拟合
当线性回归模型过拟合时我们通常使用正则化的方法来进行优化，此时我们主要是对损失函数进行优化：
前半部分是我们在线性回归模型中的损失函数，也就是预测值和实际值的误差。后半部分是加入的正则项，其中λ既可以维持对训练样本的拟合，又可以避免对训练样本的过拟合。
从数学角度分析，损失函数增加了一个正则项后，损失函数不再唯一的由预测值和真实值的误差所决定，还会和参数θ的大小有关。
比如某个比较大的θ的值会让
的值很小，但会导致
很大，最终的结果是成本函数太大，此时可以通过调整参数λ，通过控制正则项的权重，从而避免线性回归算法的过拟合。
利用正则化的成本函数，可以推导出正则化后的参数迭代函数：
可以看到α和λ都是正数，而m是训练样例的个数，所有因子
会在每次迭代的时候把
收缩一点点。如果从损失函数的公式中来看，因为
和
成正比，所以迭代时不断减少θ的值可以让损失函数尽可能的小。
数据归一化
在线性回归模型中，还有一点需要特别注意，那就是是数据归一化，特别是当我们通过多项式的方式添加特征的时候，特征的分布很不一致。
例如x1的范围是[1,10]之间，而特征x2的范围是[1,10000]之间，这个时候就需要进行数据归一化，在进行特征归一化之后，可以使得样本的特征分布都在[0,1]之间。
通过对数据归一化之后可以使算法收敛的更快，提升模型拟合的计算效率。但是在对模型预测的过程中，预测的结果需要乘以归一化处理的系数。
模型优缺点
优点：
- 思想简单，实现容易。对于小数据量、简单的关系建模迅速有效；
- 是许多强大的非线性模型的基础。
- 容易理解，结果具有很好的可解释性，有利于决策分析。
- 能解决回归问题。
缺点：
- 对于非线性数据或者数据特征间具有相关性多项式回归难以建模.
- 难以很好地表达高度复杂的数据。
思维导图
写在后面的话
稍稍总结一下，回归模型的目的是预测数值型的目标值，像诸如房价预测，年龄预测等等都可以通过回归模型去解决。
当然了你要说分类模型可以解决吗？也可以的。只不过各有所长，各有所短，而且针对样本特征需要进行相应的处理。