OpenGL坐标转换推导（十一）

OpenGL坐标转换过程

之前我们已经提到在OpenGL中，所有物体都是在一个3D空间里的，但是屏幕都是2D像素数组，所以OpenGL会把3D坐标转变为适应屏幕的2D像素，最终投射到2D的屏幕上去。所以对于每一个顶点坐标都会依次进行model、view、projection三种变换。这三种变换实现代码如下：

gl_Position = projection * view * model * vec4(position.xyz, 1);

简单来说就是gl_Position就是我们的每一个3维坐标经过model、view、projection三种变换的得出在标准化设备坐标系(Normalized Device Coordinates, NDC)中的坐标，可以回顾一下前文提到的每个坐标系之间关系如下图，

实际上model、view、projection这三种变换，分别是通过左乘一个矩阵来完成的。总的来说在OpenGL体现中，如果要实现3D物体的运动实际上是每个顶点的位置改变，而顶点的位置改变则是通过矩阵乘法来实现的。

代码中的vec4(position.xyz, 1)表示顶点在本地坐标系中的坐标（是一个四维的齐次坐标）。它左边乘上model矩阵，就得到了该顶点在世界坐标系中的坐标。这个model变换可能包含了缩放、旋转、平移(这三种变换。然后，世界坐标系中的坐标再左乘一个view矩阵，就变换到了相机坐标系。最后，再左乘projection矩阵。也就是说上面代码projection， view ，model分别对应着一种矩阵。

平移矩阵的推导过程

我们前文一直在说顶点位置的变换，3D对象的本地坐标经过一个model变换，就变换到成了世界坐标。不同的对象经过各自的model变换之后，就都位于同一个世界坐标系中了，它们的世界坐标就能表达各自的相对位置。一般来说，model变换又包含三种可能的变换：缩放、旋转、平移。而顶点的缩放、旋转、平移是通过顶点坐标和矩阵乘法来实现的，那么这个矩阵是怎么确定的呢，我们可以从线性代数的基础理论上进行一下了解。

如果我们要对顶点坐一个平移，我们最先可能会想到通过向量的平移来实现，先从二维开始分析，如下图

我们建立了一个直角坐标系，添加向量\overrightarrow{OP} ，它是一个有大小和方向的量。把它表示在坐标系里的时候，起点在原点O，终点指向点P。这个向量的坐标和点P的坐标一样，都可以记为(1,2)。因为的向量有一个性质，是向量与起点位置无关，也就是说，一个向量向任意方向平移之后不变。比如，在上图中，向量 \overrightarrow{OP} 平移之后得到向量\overrightarrow{AQ}，平移前后它们的大小和方向都一样，所以它们表示相同的向量。所以，平移后的向量\overrightarrow{AQ} 也是用以坐标(1,2)来表示。也就是说向量平移后坐标不变，那么我们要对顶点进行平移变换，就不能直接通过对一个向量的平移来得到。

那么我们必须换一种方法来实现顶点的平移，比如通过向量加法来完成。见下图。

图中A点平移到B点，相当于做一个向量加法：\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{AB} =\overrightarrow{OB} 我们看到，在直角坐标系中，向量加法满足三角形法则。其中向量 \overrightarrow{AB} 代表了平移的大小和方向，称为平移向量。因为向量平移大小和方向不变，\overrightarrow{AB}和向量 \overrightarrow{OA'} 相等，能看出它的坐标是(0.5,1)。向量 \overrightarrow{OA} 加上这样的一个平移向量，相当于把点A沿x轴平移0.5个单位，并沿y轴平移1个单位，这样就平移到了点B的位置。

前面图中是2维向量的例子，现在我们扩展到3维，假设顶点坐标是（x,y,z）将平移变换用向量坐标来表示，如下：

\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} P_x \\ P_y \\ P_z \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} x+P_x \\ y+P_x \\ z+P_x \\ \end{matrix} \right] ,其中的\left[ \begin{matrix} P_x \\ P_y \\ P_z \\ \end{matrix} \right] 就代表前面提到的平移向量的值。

在线性代数中，一个变换通常使用矩阵的乘法来表达。而且OpenGL 使用GPU来进行运算，GPU对于矩阵乘法有着非常高效的算法。我们也希望这里的平移变换能用矩阵乘法（具体说是左乘）来表达。我们设想一个3x3的矩阵A，让它乘上顶点的3维坐标：

A \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a_{11}x & a_{12}y & a_{13}z \\ a_{21}x & a_{22}y & a_{23}z \\ a_{31}x & a_{32}y & a_{33}z \\ \end{matrix} \right]

我们发现，无论矩阵A的各个元素取什么样的值，我们只能得到x,y,z的线性组合，而怎么样也得不到类似前面向量加法的结果形式（x,y,z分别加上一个常数）。为了解决这个问题，我们将3维的顶点坐标换成4维的齐次坐标。所谓齐次坐标，就是在3维坐标的基础上，加上第4个维度，并把它的值设成1。也就是说，3维坐标 \left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right]变成齐次坐标就是：\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\ \end{matrix} \right]

当然，齐次坐标的第4个元素，也可以不是1，不过这种情况我们暂时用不到，现在我们可以简单的认为，齐次坐标就是多了第4个维度，并且它是一个固定的1。多出来的这个1只要在需要的时候把它去掉，我们就能得到原来的3维坐标。实际上，在OpenGL ES中，我们总是以4维的齐次坐标来表示顶点坐标。所以上文代码中vertex shader程序中的 vec4(position.xyz, 1)

gl_Position = projection * view * model * vec4(position.xyz, 1);

vec4(position.xyz,1)就是一个齐次坐标。

这样一个4维的顶点坐标经过左乘一个矩阵，得到的结果也是一个4维的顶点坐标（仍然是个齐次坐标）。这个矩阵需要是4X4的。根据矩阵乘法的定义，现在我们很容易拼出一个能表示平移的矩阵来：\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & P_{x} \\ 1 & 0 & 0 & P_{y} \\ 1 & 0 & 0 & P_{z} \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} P_{x} + x \\ P_{y} +y \\ P_{z} +z \\ 1 \\ \end{matrix} \right]

其中矩阵：\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & P_{x} \\ 1 & 0 & 0 & P_{y} \\ 1 & 0 & 0 & P_{z} \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]就是我们要推导的，它是4x4平移矩阵。其中Px，Py，Pz元素恰好是平移向量，使得顶点坐标

经过矩阵乘法之后得到了向量加法的结果形式\left[ \begin{matrix} P_{x} + x \\ P_{y} +y \\ P_{z} +z \\ 1 \\ \end{matrix} \right]。

缩放矩阵的推导过程

上图表示的是一个2维向量的缩放过程。向量 \overrightarrow{OP} 在x和y方向上都放大了1.5倍就得到了向量\overrightarrow{OP_{1}}，记作(3,1.5)。也就是一个2维向量的放大和缩小就是自身对应的坐标在x轴和y轴大小的放大和缩小。同理一个顶点在3维空间的放大和缩小则是在3维空间顶点自身坐标（x,y,z）也放大和缩小相同的倍数。还是以上图2维向量为例，向量 \overrightarrow{OP} 在x方向上缩小为原来的0.5倍，在y方向上放大为原来的2倍，就得到了向量 \overrightarrow{OP_{2}} ，坐标从(2,1)变换成了(1,2)，这也是一种缩放变换。

在3维空间，假设我们把顶点坐标（x,y,z）用4维的齐次坐标表示(x,y,z,1）各个维度的坐标分别放大或缩小一个倍数对应指为

S_x,S_y,S_z,1则可以用\left[ \begin{matrix} S_{x}x \\ S_{y}y \\ S_{z}z \\ 1 \\ \end{matrix} \right]表示。缩放操作用矩阵乘法可以写成： \left[ \begin{matrix} S_{x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_{y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} S_{x}x \\ S_{y}y \\ S_{z}z \\ 1 \\ \end{matrix} \right]上面这个式子意思就是，一个向量的x,y,z坐标经过缩放变换之后，分别变成了原来Sx,Sy,Sz倍。而式子中左乘的这个4x4的矩阵，就是我们要推导的缩放矩阵：\left[ \begin{matrix} S_{x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & S_{y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & S_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right] 。

小结

以上两种矩阵推算过程只是OpenGL 众多矩阵变换中的两种，是为了举例说明顶点坐标变换的思维过程，让初学者容易触摸到入门的门槛。有兴趣的同学，可以再在这基础上作更深入详细的研究。