专栏首页科学计算为什么高斯白噪声的平均功率等于方差?

为什么高斯白噪声的平均功率等于方差?

  功率和方差这两个概念,一个是表示信号的强度,一个是表示随机信号的一个统计量,为什么高斯白噪声的平均功率会等于它的方差呢?

什么是高斯白噪声?

  维基百科上给出的解释是:在通信领域中指的是一种功率谱函数是常数(即白噪声),且幅度服从高斯分布的噪声信号。因其可加性、幅度服从高斯分布且为白噪声的一种而得名。

自相关函数

  高斯白噪声是一种平稳的随机过程,假设该过程为,那么其自相关函数的定义如下:

随机过程的自相关函数非常重要,它有两条非常重要的性质:

  1. R(0) = E[

],表示平均功率

  1. R(∞) =

,表示直流功率

  为什么R(0)表示平均功率?为什么R(∞) 表示直流功率呢?

  其实R(0)表示平均功率相对好理解一些,输入的信号是,信号的平方就是功率,对功率取个E(),就是取平均,那就是平均功率了。

  当为无穷大时,和

相当于独立同分布的两个随机变量了,因此:

image-20210117235027778

这个就是信号先求平均(即直流分量),再平方,结果自然就是直流的功率了。

自协方差函数

  自相关函数也叫二阶原点矩,而自协方差函数是二阶中心矩,它的定义为:

image-20210117234339817

其中m(t)表示t时刻的平均值。

当时,

,即平均功率减去均值平方,表示方差。

所以,对于高斯白噪声来说,它的均值为0,即m(t)为0,因此平均功率等于方差。

ps. 感觉师兄胡冲博士的友情帮助。

本文分享自微信公众号 - 科学计算technomania(Quant_Times),作者:张大侠

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原始发表时间:2021-01-18

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