为什么高斯白噪声的平均功率等于方差？

  功率和方差这两个概念，一个是表示信号的强度，一个是表示随机信号的一个统计量，为什么高斯白噪声的平均功率会等于它的方差呢？

什么是高斯白噪声？

  维基百科上给出的解释是：在通信领域中指的是一种功率谱函数是常数（即白噪声），且幅度服从高斯分布的噪声信号。因其可加性、幅度服从高斯分布且为白噪声的一种而得名。

自相关函数

  高斯白噪声是一种平稳的随机过程，假设该过程为，那么其自相关函数的定义如下：

随机过程的自相关函数非常重要，它有两条非常重要的性质：

1. R(0) = E[

]，表示平均功率

1. R(∞) =

，表示直流功率

  为什么R(0)表示平均功率？为什么R(∞) 表示直流功率呢？

  其实R(0)表示平均功率相对好理解一些，输入的信号是，信号的平方就是功率，对功率取个E()，就是取平均，那就是平均功率了。

  当为无穷大时，和

相当于独立同分布的两个随机变量了，因此：

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这个就是信号先求平均（即直流分量），再平方，结果自然就是直流的功率了。

自协方差函数

  自相关函数也叫二阶原点矩，而自协方差函数是二阶中心矩，它的定义为：

image-20210117234339817

其中m(t)表示t时刻的平均值。

当时，

，即平均功率减去均值平方，表示方差。

所以，对于高斯白噪声来说，它的均值为0，即m(t)为0，因此平均功率等于方差。

ps. 感觉师兄胡冲博士的友情帮助。