机器学习笔记之矩阵分解 SVD奇异值分解

Jetpropelledsnake21

发布于 2021-03-04 14:45:45

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0x00 什么是SVD

奇异值分解（singular value decomposition）是线性代数中一种重要的矩阵分解，在生物信息学、信号处理、金融学、统计学等领域有重要应用，SVD都是提取信息的强度工具。

在机器学习领域，很多应用与奇异值都有关系，比如推荐系统、数据压缩（以图像压缩为代表）、搜索引擎语义层次检索的LSI等等。

0x01 SVD的原理

1.1 矩阵相关知识

正交与正定矩阵

正交矩阵：若一个方阵其行与列皆为正交的单位向量，则该矩阵为正交矩阵，且该矩阵的转置和其逆相等。两个向量正交的意思是两个向量的内积为 0。
正定矩阵：如果对于所有的非零实系数向量 z，都有

zTAz>0

，则称矩阵

是正定的。正定矩阵的行列式必然大于0，所有特征值也必然>0。相对应的，半正定矩阵的行列式必然 ≥ 0。

转置与共轭转置

矩阵的转置（transpose）是最简单的一种矩阵变换。

简单来说，若

m×n

的矩阵

的转置记为

；则

是一个

n×m

的矩阵，并且

Mi,j=MTj,i

。因此，矩阵的转置相当于将矩阵按照主对角线翻转；同时，我们不难得出

M=(MT)T

。

矩阵的共轭转置（conjugate transpose）可能是倒数第二简单的矩阵变换。共轭转置只需要在转置的基础上，再叠加复数的共轭即可。因此，若以

记矩阵

的共轭转置，则有

酉矩阵

酉矩阵（unitary matrix）是一种特殊的方阵，它满足

UUH=UHU=In

。不难看出，酉矩阵实际上是推广的正交矩阵（orthogonal matrix）；当酉矩阵中的元素均为实数时，酉矩阵实际就是正交矩阵。另一方面，由于

MM−1=M−1M=In

，所以酉矩阵

满足

U−1=UH

，事实上，这是一个矩阵是酉矩阵的充分必要条件。

正规矩阵

同酉矩阵一样，正规矩阵（normal matrix）也是一种特殊的方阵，它要求在矩阵乘法的意义下与它的共轭转置矩阵满足交换律。这也就是说，若矩阵

满足如下条件，则称其为正规矩阵：

MMH=MHM

。显而易见，复系数的酉矩阵和实系数的正交矩阵都是正规矩阵。显而易见，正规矩阵并不只有酉矩阵或正交矩阵。例如说，矩阵

即是一个正规矩阵，但它显然不是酉矩阵或正交矩阵；因为

谱定理和谱分解

矩阵的对角化是线性代数中的一个重要命题。谱定理（spectral theorem）给出了方阵对角化的一个结论：若矩阵

是一个正规矩阵，则存在酉矩阵

，以及对角矩阵

，使得

M=UΛUH

。这也就是说，正规矩阵，可经由酉变换，分解为对角矩阵；这种矩阵分解的方式，称为谱分解（spectral decomposition）。

1.2 SVD奇异值分解

谱定理给出了正规矩阵分解的可能性以及分解形式。然而，对于矩阵来说，正规矩阵是要求非常高的。因此，谱定理是一个非常弱的定理，它的适用范围有限。在实际生产中，我们遇到的很多矩阵都不是正规矩阵。对于这些矩阵，谱定理就失效了。作为谱定理的泛化，SVD 分解对于原矩阵的要求就要弱得多。

假设

是一个

m×n

的矩阵，其中的元素全部属于数域

（实数域

或复数域

）。那么，存在

m×m

的酉矩阵

和

n×n

的酉矩阵

使得：

1.3 SVD 的计算方法

0x02 SVD的应用实战

本次实战内容为基于模型的协同过滤算法。假设我们用m个用户，n个商品，每个用户对每个商品的评分可以组成一个m*n的二维矩阵。当然，这个矩阵中会有非常多的值是不知道的，可能是用户没有用过这个商品，也有可能用户使用后没有进行评分。如下图所示：

图中空白位置即未知的值。接下来，我们需要做的是根据这个残缺的二维矩阵中已知的值，预测出未知的值，即预测出每一个用户对每一个商品的评分。可以想象，当矩阵被预测值补充完整之后，矩阵的每一行即表示一个用户对所有商品的评分，可以从这些评分中提取评分最高的几个商品推荐给用户，这样我们就完成了一个推荐系统模型。接下来，就是如何通过已知值预测未知值的问题了，这里我们采用矩阵分解的方式，如图所示：

中间矩阵可以拆分为左边和上边两个矩阵的乘积，这就是奇异值分解，一个矩阵总是可以拆分成两个矩阵相乘。

第一步：安装Python组件及准备数据

1、安装Python推荐系统库：Surprise（Simple Python Recommendation System Engine）

pip install scikit-surprise

2、准备训练数据

用到的数据集movieslen 100k：https://grouplens.org/datasets/movielens/

Surprise自带数据集就支持movieslen，运行如下代码：

from surprise import Dataset
# 加载movielens数据
data = Dataset.load_builtin('ml-100k')

交互窗口提示如下内容：

Dataset ml-100k could not be found. Do you want to download it? [Y/n]

输入Y以后会自动将数据集下载下来并可直接使用。

第二步：使用SVD进行模型训练

from surprise import SVD
from surprise import Dataset
from surprise.model_selection import cross_validate, train_test_split
from surprise import accuracy

data = Dataset.load_builtin('ml-100k')

# 拆分训练集与测试集，75%的样本作为训练集，25%的样本作为测试集
# 这里的train_set的类型是surprise.dataset.Trainset类型，我们可以查看数据的基本信息
# train_set.n_users
# Out[2]: 943
# train_set.n_items
# Out[3]: 1637
# 这说明我们要用于训练的样本共有943个用户，1637个商品。

train_set, test_set = train_test_split(data, test_size=.25)

# 训练模型，指定有35个隐含特征，使用训练集进行训练
# 35隐含特征是指，原本943*1637的矩阵会被拆分成943*35和35*1637的两个矩阵乘积。
# n_factors值可以任意指定只要不超过943即可，但是设置不同的值将会拟合出不同的模型，需要选择使结果较优的值。
# n_factors我一般选择ceiling(m*n,1/4)用来测试

model = SVD(n_factors=35)

# 5折验证，输出结果
# 输出的内容为：
# Evaluating RMSE, MAE of algorithm SVD on 5 split(s).
#                   Fold 1  Fold 2  Fold 3  Fold 4  Fold 5  Mean    Std     
# RMSE (testset)    0.9310  0.9320  0.9364  0.9329  0.9402  0.9345  0.0034  
# MAE (testset)     0.7327  0.7357  0.7387  0.7357  0.7375  0.7361  0.0020  
# Fit time          4.93    4.36    4.27    4.14    4.30    4.40    0.27    
# Test time         0.24    0.31    0.30    0.20    0.19    0.25    0.05   
cross_validate(model, data, measures=['RMSE', 'MAE'], cv=5, verbose=True)

# 使用训练集进行训练
model.fit(train_set)

# 模型训练完成后也可以查看拆分出来的两个矩阵
# model.pu.shape
# Out[2]: (943, 35)
# model.qi.shape
# Out[3]: (1637, 35)

# 使用测试集进行测试
# 输出的内容为：RMSE: 0.9413
predictions = model.test(test_set)
accuracy.rmse(predictions)

第三步：根据模型结果进行推荐

uid = str(196)  # raw user id (as in the ratings file). They are **strings**!
iid = str(302)  # raw item id (as in the ratings file). They are **strings**!

# 获取指定用户和电影的评级结果.
# 输出内容：
# user: 196        item: 302        r_ui = 4.00   est = 4.05   {'was_impossible': False}
pred = model.predict(uid, iid, r_ui=4, verbose=True)

0x03 SVD的缺点

SVD分解是早期推荐系统研究常用的矩阵分解方法，不过该方法具有以下缺点，因此很难在实际系统中应用。

该方法首要需要用一个简单的方法补全稀松评分矩阵。一般来说，推荐系统中的评分矩阵是非常稀疏的，一般都有95%以上的元素是缺失的。而一旦补全，评分矩阵就会变成一个稠密矩阵，从而使评分矩阵的存储需要非常大的空间，这种空间的需求在实际系统中是不可能接受的。
该方法依赖的SVD分解方法的计算复杂度较高，特别是在稠密的大规模矩阵上更是非常慢。一般来说，这里的SVD分解用于1000维以上的矩阵就已经非常慢了，而实际系统动辄上千万的用户和几百万的物品，所以这一方法无法使用。如果仔细研究这方面的论文可以发现，实验都是在几百个用户、几百个商品的数据集上进行的。

如何解决SVD存在的问题，请听下回分解。