听六小桨讲AI | 第1期：卷积概念及计算

用户1386409

发布于 2021-04-20 17:11:25

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文章被收录于专栏：PaddlePaddlePaddlePaddle

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卷积产生的背景

在全连接网络[1]中，一张图像上的所有像素点会被展开成一个1维向量输入网络，如图1所示，28 x 28的输入数据被展开成为784 x 1的数据作为输入。

图1 全连接神经网络结构图

往往会存在如下两个问题：

1. 输入数据的空间信息被丢失。 空间上相邻的像素点往往具有相似的RGB值，RGB的各个通道之间的数据通常密切相关，但是转化成1维向量时，这些信息将会丢失。如图2所示，空间位置相邻的两个点A和B，转化成1维向量后并没有体现出他们之间的空间关联性。

图2 卷积计算过程

2. 模型参数过多，容易发生过拟合。 由于每个像素点都要跟所有输出的神经元相连接。当图片尺寸变大时，输入神经元的个数会按图片尺寸的平方增大，导致模型参数过多，容易发生过拟合。例如：对于一幅1000 x 1000的输入图像而言，如果下一个隐含层的神经元数目为

个，那么将会有

个权重参数，可以想象，如此大规模的参数量使得网络很难训练。

为了解决上述问题，引入卷积（Convolution）来对输入的图像进行特征提取。卷积的计算范围是在像素点的空间邻域内进行的，因此可以利用输入图像的空间信息；此外，由于卷积具有局部连接、权重共享等特性，卷积核参数的数目也远小于全连接层。

卷积基础概念

卷积核（kernel）：也被叫做滤波器（filter），假设卷积核的高和宽分别为

和

，则称其为

卷积。比如某卷积核高为3, 宽为5，则叫做3 x 5卷积。卷积核中数值即进行卷积计算时所采用的权重。

卷积计算（convolution）：图像中像素点具有很强的空间依赖性，卷积就是针对像素点的空间依赖性来对图像进行处理的一种技术。
特征图（feature map）：卷积滤波结果。

应用示例1

在卷积神经网络中，卷积层的实现方式实际上是数学中定义的互相关（cross-correlation）运算，具体的计算过程如图3 所示，每张图的左图表示输入数据是一个维度为3 x 3的二维数组；中间的图表示卷积核是一个维度为2 x 2的二维数组。

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图3 卷积计算过程

如图3（a）所示：先将卷积核的左上角与输入数据的左上角（即：输入数据的(0, 0)位置）对齐，把卷积核的每个元素跟其位置对应的输入数据中的元素相乘，再把所有乘积结果相加，得到卷积输出的第一个结果：

如图3（b）所示：将卷积核向右滑动，同样将卷积核的每个元素跟其位置对应的输入数据中的元素相乘，再把所有乘积结果相加，得到卷积输出的第二个结果：

如图3（c）所示：将卷积核向下滑动，让卷积核左上角与输入数据中的(1, 0)位置对齐，可以计算得到卷积输出的第三个结果：

如图3（d）所示：将卷积核向右滑动，让卷积核左上角与输入数据中的(1, 1)位置对齐，可以计算得到卷积输出的第四个结果：

最终可以得到图3（d）右侧所示的特征图。

说明：

输入图像的边缘像素因其处于边缘位置，因此无法参与卷积计算；
图像卷积计算实质上是对图像进行了下采样 (down sampling)操作。对卷积得到的图像结果不断卷积滤波，则原始图像就会被“层层抽象、层层约减”，从而使得蕴涵在图像中的重要信息“显山露水”；
卷积核中的权重系数是通过数据驱动机制学习得到，用来捕获图像中某像素点及其邻域像素点所构成的特有空间模式。一旦从数据中学习得到权重系数，这些权重系数就刻画了图像中像素点构成的空间分布不同模式。

填充（Padding）

输入图像边缘位置的像素点无法进行卷积滤波，为了使边缘像素也参与卷积滤波，填充技术应运而生。填充是指在边缘像素点周围填充“0”（即0填充），使得输入图像的边缘像素也可以参与卷积计算。注意，在这种填充机制下，卷积后的图像分辨率将与卷积前图像分辨率一致，不存在下采样。

应用示例2

当卷积核尺寸大于1时，输出特征图的尺寸会小于输入图片尺寸。如果经过多次卷积，输出图片尺寸会不断减小。为了避免卷积之后图片尺寸变小，通常会在图片的外围进行填充(padding)，如图4 所示。

图4 图形填充

如图4（a）所示：填充的大小为1，填充值为0。填充之后，输入图片尺寸从4 x 4变成了6 x 6，使用3 x 3的卷积核，输出图片尺寸为4 x 4。
如图4（b）所示：填充的大小为2，填充值为0。填充之后，输入图片尺寸从4 x 4变成了8 x 8，使用3 x 3的卷积核，输出图片尺寸为6 x 6。

如果在输入图片第1行之前和最后1行之后填充

行；在输入图片第1列之前和最后1列之后填充

列；则填充之后的图片尺寸为

。经过大小为

的卷积核操作之后，输出图片的尺寸为：

为了便于padding，卷积核大小通常使用1，3，5，7这样的奇数，这样如果使用的填充大小为

，则可以使得卷积之后图像尺寸不变。例如当卷积核大小为3时，padding大小为1，卷积之后图像尺寸不变；同理，如果卷积核大小为5，padding大小为2，也能保持图像尺寸不变。

步长（Stride）

在卷积操作时，通常希望输出图像分辨率与输入图像分辨率相比会逐渐减少，即图像被约减。因此，可以通过改变卷积核在输入图像中移动步长大小来跳过一些像素，进行卷积滤波。当Stride=1时，卷积核滑动跳过1个像素，这是最基本的单步滑动，也是标准的卷积模式。Stride=k表示卷积核移动跳过的步长是k。

应用示例3

图3 中卷积核每次滑动一个像素点，这是步长为1的特殊情况。图5是步长为2的卷积过程，卷积核在图片上移动时，每次移动大小为2个像素点。

图5 步幅为2的卷积过程

当输入图像尺寸H x W，卷积核大小

，填充

，步长为

时，输出特征图尺寸的计算公式是：

感受野（Receptive Field）

卷积所得结果中，每个特征图像素点取值依赖于输入图像中的某个区域，该区域被称为感受野（receptive field），正所谓“管中窥豹、见微知著”。那么这个区域在哪呢，在卷积神经网络中，感受野是特征图（feature map）上的点对应输入图像上的区域。感受野内每个元素数值的变动，都会影响输出点的数值变化。

应用示例4

比如3 x 3卷积对应的感受野大小就是3 x 3，如图6 所示。

图6 感受野为3×3的卷积

而当通过两层3 x 3的卷积之后，感受野的大小将会增加到5 x 5，如图7 所示。

图7 感受野为5×5的卷积

因此，当增加卷积网络深度的同时，感受野将会增大，输出特征图中的一个像素点将会包含更多的图像语义信息。

卷积的优势

保留空间信息

在卷积运算中，计算范围是在像素点的空间邻域内进行的，它代表了对空间邻域内某种特征模式的提取。对比全连接层将输入展开成一维的计算方式，卷积运算可以有效学习到输入数据的空间信息。

局部连接

在上文中，我们介绍了感受野的概念，可以想像，在卷积操作中，每个神经元只与局部的一块区域进行连接。对于二维图像，局部像素关联性较强，这种局部连接保证了训练后的滤波器能够对局部特征有最强的响应，使神经网络可以提取数据的局部特征。全连接与局部连接的对比如图8所示。

图8 全连接与局部连接

同时，由于使用了局部连接，隐含层的每个神经元仅与部分图像相连，考虑本文开篇提到的例子，对于一幅1000 × 1000的输入图像而言，下一个隐含层的神经元数目同样为

个，假设每个神经元只与大小为的局部区域相连，那么此时的权重参数量仅为

，相较于全连接层，参数量少了4个数量级。

权重共享

卷积计算实际上是使用一组卷积核在图片上进行滑动，计算乘加和。因此，与图像计算的过程中，卷积核的权重是共享的。这就大大降低了网络的训练难度，图9为权重共享的示意图。这里还使用上面的例子，对于一幅1000 × 1000的输入图像，下一个隐含层的神经元数目为

个，隐含层中的每个神经元与大小为10 x 10的局部区域相连，因此有10 x 10个权重参数。将这10 x 10个权重参数共享给其他位置对应的神经元，也就是

个神经元的权重参数保持一致，那么最终需要训练的参数就只有这10 x 10个权重参数了。

图9 权重共享示意图

不同层级卷积提取不同特征

在CNN网络中，通常使用多层卷积进行堆叠，从而达到提取不同类型特征的作用。比如：浅层卷积提取的是图像中的边缘等信息；中层卷积提取的是图像中的局部信息；深层卷积提取的则是图像中的全局信息。这样，通过加深网络层数，CNN就可以有效地学习到图像从细节到全局的所有特征了。对一个简单的5层CNN进行特征图可视化后的结果如图10所示 [2]。