R语言蒙特卡洛方法：方差分量的Metropolis Hastings（M-H）、吉布斯Gibbs采样比较分析

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蒙特卡洛方法利用随机数从概率分布P(x)中生成样本，并从该分布中评估期望值，该期望值通常很复杂，不能用精确方法评估。在贝叶斯推理中，P（x）通常是定义在一组随机变量上的联合后验分布。然而，从这个分布中获得独立样本并不容易，这取决于取样空间的维度。因此，我们需要借助更复杂的蒙特卡洛方法来帮助简化这个问题；例如，重要性抽样、拒绝抽样、吉布斯抽样和Metropolis Hastings抽样。这些方法通常涉及从建议密度Q(x)中取样，以代替P(x)。

在重要性抽样中，我们从Q(x)中产生样本，并引入权重以考虑从不正确的分布中抽样。然后，我们对我们需要评估的估计器中的每个点的重要性进行调整。在拒绝抽样中，我们从提议分布Q(x)中抽取一个点，并计算出P(x)/Q(x)的比率。然后我们从U(0,1)分布中抽取一个随机数u；如果

，我们就接受这个点x，否则就拒绝并回到Q(x)中抽取另一个点。吉布斯抽样是一种从至少两个维度的分布中抽样的方法。这里，提议分布Q(x)是以联合分布P(x)的条件分布来定义的。我们通过从后验条件中迭代抽样来模拟P(x)的后验样本，同时将其他变量设置在其当前值。

虽然，重要性抽样和拒绝抽样需要Q(x)与P(x)相似（在高维问题中很难创建这样的密度），但当条件后验没有已知形式时，吉布斯抽样很难应用。这一假设在更普遍的Metropolis-Hastings算法中可以放宽，在该算法中，候选样本被概率性地接受或拒绝。这种算法可以容纳对称和不对称的提议分布。该算法可以描述如下

初始化

抽取

计算

从

中抽取

如果

设

否则，设置

结束

吉布斯抽样是Metropolis Hastings的一个特例。它涉及一个总是被接受的提议（总是有一个Metropolis-Hastings比率为1）。

我们应用Metropolis Hastings算法来估计标准G-BLUP模型中回归系数的方差成分。

对于G-BLUP模型。

其中

，

代表表型的向量和基因型的矩阵。

是标记效应的向量，

是模型残差的向量，残差为正态分布，均值为0，方差为

和

。

考虑到其余参数，

的条件后验密度为：

这是一个逆卡方分布。

假设我们需要使

的先验尽可能地不具信息性。一种选择是设置

，

，并使用拒绝抽样来估计

；但是，设置S0=0可能会导致算法卡在0处。因此，我们需要一个可以替代逆卡方分布的先验，并且可以非常灵活。为此，我们建议使用β分布。由于所得到的后验不是一个合适的分布，Metropolis Hastings算法将是获得

后验样本的一个好选择。

这里我们把

作为我们的提议分布Q。因此。

我们的目标分布是

的正态似然与

的β先验的乘积。由于β分布的域在0和1之间，我们用变量

来代替β先验，其中MAX是一个确保大于

的数字，这样

。

其中α1和α2是β分布的形状参数，其平均值由

给出。

我们按照上面的算法步骤，计算出我们的接受率，如下所示。

然后我们从均匀分布中抽取一个随机数u，如果

，则接受样本点

，否则我们拒绝该点并保留当前值，再次迭代直至收敛。

Metropolis Hastings 算法

MetropolisHastings=function(p, ...)

 chain\[1\]=x
  for (i in 1:nIter) {
      y\[i\] <-(SS+S0)/rchisq(df=DF,n=1,...)
  
    logp.old\[i\]=-(p/2)\*log(chai) - (SS/(2\*chain) + (shape1-1)*(log(chain\[i\]/(MAX)))+(shape2-1)*(log(1-(chain\[i\]/(MAX))

    logp.new\[i\]=-(p/2)\*log(y\[i\]) - (SS/(2\*y\[i\])) + (shape1-1)*(log(y\[i\]/(MAX)))+(shape2-1)*(log(1-(y\[i\]/(MAX))
    chain\[i+1\] = ifelse (runif(1)<AP\[i\] , y\[i\], chain\[i\],...)

吉布斯采样器

gibbs=function(p,...)
b = rnorm(p,0,sqrt(varb),...)
 for (i in 1:Iter) {
      chain\[i\] <-(S+S0)/rchisq(df=DF,n=1,...)

绘制图

plot = function(out1,out2)
plot(density(chain1),xlim=xlim)
lines(density(chain2),xlim=xlim)
abline(v=varb,col="red",lwd=3)

设置参数

运行吉布斯采样器

##################
out1=gibbs(p=sample.small,...)
out2=gibbs(p=sample.large,...)

在不同的情况下运行METROPOLIS HASTINGS

小样本量，先验

out.mh=mh(p=sample.small,nIter=nIter,varb=varb,shape1=shape.flat,shape2=shape.flat, MAX=MAX)

样本量小，β值的形状1参数大

p=sample.small
nIter
varb
shape.skew\[1\]
shape.skew\[2\]
 MAX

plot(out.mh, out.gs_1)

样本量小，β值的形状1参数大

MetropolisHastings(p)

makeplot(out.mh, out.gs_1)

## Summary of chain for MH: 
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  0.2097  0.2436  0.2524  0.2698  0.2978  0.4658

样本量小，β的形状参数相同（大）

plot(out.mh, out1)

大的样本量，先验

plot(out.mh, out2)

大样本量，形状1参数的β

plot(out.mh, out2)

大样本量，β值的大形状2参数

plot(out.mh, out_2)

大样本量，β的形状参数相同（大）

plot(out.mh, out2)

参考文献

1. Gelman, Andrew, et al. Bayesian data analysis. Vol. 2. London: Chapman & Hall/CRC, 2014.