为什么一个分布在多次Softmax后，会趋于相同

mathor

发布于 2021-07-19 10:58:17

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本文其实是我在知乎上无意中翻到的一条提问：softmax到底有哪些作用？，其中苏剑林大佬关于第四个问题的回复，给我产生了一些思考。为什么一个分布在多次Softmax之后，每个值会趋于相同？例如[1,100]在大约10次Softmax操作后会变成[0.5,0.5]；[1,2,3,4]大约5次Softmax操作后会变成[0.25,0.25,0.25,0.25]

苏剑林大佬的原话是：“这其实是一个没什么实用价值的结果，因为对Softmax的结果再次进行Softmax没有什么物理意义”。不过我还是本着好奇的心态看完了他对于这个问题的证明，感兴趣的同学直接看原回答即可。实际上由于篇幅限制，苏剑林大佬的证明过程省略了不少步骤，因此这里我给出完整的证明流程

设第i次迭代后的向量为(p_1^{(i)},p_2^{(i)},...,p_n^{(i)})，我们先证明n\ge 3的情形。不妨设其中最大值、最小值为p_{\text{max}}^{(i)},p_{\text{min}}^{(i)}，则\text{Softmax}(p_1^{(i)},p_2^{(i)},...,p_n^{(i)})的最大值为

p_{\text{max}}^{(i+1)}=\frac{e^{p_{\text{max}}^{(i)}}}{\sum_{j=1}^ne^{p_j^{(i)}}}\leq \frac{e^{p_{\text{max}}^{(i)}}}{ne^{p_{\text{min}}^{(i)}}}=\frac{e^{p_{\text{max}}^{(i)}-p_{\text{min}}^{(i)}}}{n}

同理，最小值为

p_{\text{min}}^{(i+1)}=\frac{e^{p_{\text{min}}^{(i)}}}{\sum_{j=1}^ne^{p_j^{(i)}}}\ge \frac{e^{p_{\text{min}}^{(i)}}}{ne^{p_{\text{max}}^{(i)}}}=\frac{e^{p_{\text{min}}^{(i)}-p_{\text{max}}^{(i)}}}{n}

则

p_{\text{max}}^{(i+1)} - p_{\text{min}}^{(i+1)} \leq \frac{e^{p_{\text{max}}^{(i)}-p_{\text{min}}^{(i)}} - e^{p_{\text{min}}^{(i)}-p_{\text{max}}^{(i)}}}{n}

设a_{i}=p^{(i)}_{\text{max}} -p^{(i)}_{\text{min}}，则0\leq a_{i+1}\leq \frac{e^{a_i}-e^{-a_i}}{n}，所以现在问题转化为证明\lim\limits_{i\to \infty}a_{i+1}=0成立

由a_{i+1}的定义，即p_{\text{max}}^{(i+1)}-p_{\text{min}}^{(i+1)}（概率的差），所以0\leq a_{i+1}很容易想到。接下来如果我们能够证明a_{i+1}= \frac{e^{a_i}-e^{-a_i}}{n}收敛到0，那么通过夹逼定理，就可以证得\lim\limits_{i\to \infty}a_{i+1}=0

因为f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{n}是单调递增的，它只有一个不动点，只要初始值不大于0，那么迭代x_{i+1}=f(x_i)必然收敛到0。所以\{a_i\}_{i=1}^\infty也必然收敛到0

当n=2时，上述放缩太宽了，也就是从1出发，迭代x_{i+1}=f(x_i)不收敛。我们可以直接考虑

p_{\text{min}}^{(i+1)}\ge \frac{e^{p_{\text{min}}^{(i)}-p_{\text{max}}^{(i)}}}{2}=\frac{e^{p_{\text{min}}^{(i)}-(1-p_{\text{min}}^{(i)})}}{2}=\frac{e^{2p_{\text{min}}^{(i)}-1}}{2}

基于类似的过程，g(x)=\frac{e^{2x-1}}{2}单调递增并且只有一个不动点x=\frac{1}{2}，所以从0出发，p_{\text{min}}^{(i)}会收敛到\frac{1}{2}