上一篇我介绍了坐标系与矩阵的应用之一:ECEF与ENU坐标转换的相关的概念。本篇介绍坐标系在动力学中的应用场景,这里则涉及到Denavit-Hartenberg(DH) Algorithm。
在动力学中,比如人的胳膊就有好几个关节,且不同的关节有不同的旋转轴,如果是路飞的话,关节之间的长度还是不固定的。这里,每一个关节都存在一个自身坐标系,其中旋转可以是绕三个轴,平移则是沿着三个轴,每个坐标系存在6个自由度。问题就有点复杂了,每个人对每个关节可能会定义不同的坐标系方向,这会直接决定求解该问题的难度。DH算法则提供了一个一般性理论,且每一个关节只需要4个自由度。
DH满足四个规则:
和上一关节
垂直,如果不唯一,则方向从
到
轴必须和
相交
根据该规则,以上图为例,来确定每一个关节的坐标系。
(0)由左向右,确定第一个关节的
,这里
有多个选择,你选择一个正常的就可以,然后根据右手坐标系确定
(1)确定第二个关节的
,
有两个选择,这里选择向右,根据右手坐标系确定
(2)同理,依次确定第三个关节的
、
和
,第四个关节的的
、
和
(3)第四个关节的特殊点在于它有两个旋转轴,因此,我们需要在对其建立另一个坐标系,确定对应的
、
和
根据上图确定最后一个关节的坐标轴
(3)最后的终端称为tool,我们定义对应的approach vector
,sliding vector
,另一个轴则是normal vector
,确定对应的
、
和
如上,我们确定了每一个节点的坐标系,但这还不够,我们需要确定相邻坐标系之间的旋转和平移参数。参数计算规则如下:
位置,是轴
和轴
,如果没有相交,则是轴
和轴
的法线与轴
的交点
,是绕轴
从
到
的角度
,是从坐标系
的原点沿着轴
到
的距离
,是从
沿着
到坐标系
的原点的距离
,是绕轴
从
到
的角度
上图是从
到
的转换步骤(1-5):
从
到
:
从
到
:
从
到
:
从
到
:
如上,我们首先确定了每个关节的坐标系,进而确定关节的四个参数,对应其四个自由度,这样,我们按照如下规则计算两个相邻关节之间的转换矩阵,该矩阵将
上的点
转为
上对应的点
:
我们把从
到
中相邻坐标系,可以建立一个参数表:
当我们需要将
上的点
转到
坐标系下的点
,对应的 转换矩阵为:
例子1
对上图建立每个关节的坐标系
例子2
对上图建立每个关节的坐标系
答案:
DH算法的介绍到此结束。下一篇是OpenGL中基础的模型视图投影矩阵。
参考资料:Motion and Manipulation
https://www.cs.uu.nl/docs/vakken/moma/2019.html