浅谈数据包络分析

用户7506105

发布于 2021-08-09 16:06:41

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数据包络分析是一种用于进行综合评判分析的非参数方法。它使用线性规划来估计多个决策单元(DMU)的有效性，它广泛应用于生产、管理学和经济学等领域中。这一模型是用来综合评判多个输入和多个输出的决策是否有效的十分理想的方法

评价思想

核心是通过对每个DMU的输入和输出数据进行综合分析，得出每个DMU效率的相对指标，然后将所有DMU效率指标排序，确定相对有效的DMU即有效的决策单元，为管理人员提供管理决策信息

举个例子，每个公司的各个部门可以看成是每个DMU，因为每个部门有输入成本和产出效益

符号约定

有n个决策单元(以下由DMU代替)，每个DMU有m种类型的输入(即该决策单元有m种资源的耗费)，s种类型的输出(即决策单元在消耗资源后产出了s种效益)

由图片中所示：

过程

对上面这个分式规划，很明显这个和输入输出数据的量纲单位无关，即不管输入输出量纲是否相同，计算所得的最优评价指数是不变的(毕竟是分式)，现在的问题是如何求解这个最优化问题，分式规划或者叫非线性规划，在这类规划中我们需要尽可能地将其转化为线性规划，毕竟线性规划的研究非常成熟，这里采用Charnes-Cooper变换：

令

t = \frac{1}{v^T x_0}

\omega = tv,\mu=tu

则原式可以转化为

\begin{cases} max h_{j_0} = \sum_{r=1}^s \mu_r y_{rj_0} \\ s.t. \sum_{r=1}^s \mu_r y_{rj} - \sum_{i=1}^m \omega_i x_{ij} <= 0\\ \sum_{i=1}^m \omega_i x_{ij_0} = 1 \\ \omega_i >= 0 \\ \mu_r >= 0 \end{cases}

向量表达式为

\begin{cases} max V_p = \mu^T y_0 \\ s.t. \omega^T x_j - \mu^T y_j >= 0\\ \omega^T x_0 = 1 \\ \omega >= 0 \\ \mu>= 0 \end{cases}

很容易证明，这个线性规划和原分式规划解是等价的

求解

众所周知线性规划的原问题可以由对偶问题来推导，和之前一期一样，考虑这样的原问题

\begin{cases} \min \limits_{x} c^T x \\ s.t.Ax = b \\ x>= 0 \end{cases}

则对偶问题为

\begin{cases} \max \limits_{y} b^T y \\ s.t.A^Ty + s = c \\ s>= 0 \end{cases}

有效是指决策单元达到100%效益的效果，而100%效益一般是两种情况，一是在现有输入下，任何一种输出都无法增加，除非同时降低其他种类输出，二是要达到现有的输出，任何一种输入都无法降低，除非同时增加其他种类的输入

技术有效是指满足生产函数曲线，即在生产函数曲线上的点

特点

非常适合用于多输出-多输入的有效性综合评价问题
应用DEA方法建立模型前无需对数据进行量纲化处理
无需任何人工赋权
结果只能评价决策单元的相对发展指标，而无法对实际的发展水平量化表示
由于各个决策单元都是从最有利于自己的角度分别求得权重，这样会导致这些权重随着DMU的不同而不同，从而使得每个决策单元 DMU 的特性缺乏可比性，这样得出的结果可能不符合客观实际

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