第4章-变换-4.3-四元数
4.3 四元数
尽管四元数早在1843年就由William Rowan Hamilton爵士发明，作为复数的扩展，但直到1985年Shoemake[1633]才将它们引入计算机图形领域
。四元数用于表示旋转和方位。它们在几个方面都优于欧拉角和矩阵。任何三维方向都可以表示为围绕特定轴的单次旋转。给定轴和角度表示，与四元数转换相互转换很简单，然后任一方向的欧拉角转换则具有挑战性。四元数可用于稳定和恒定的方向插值，这是欧拉角无法很好完成的。
复数有实部和虚部。每个复数由两个实数表示，第二个实数乘以
。同样，四元数有四个部分。前三个值与旋转轴密切相关，旋转角度影响所有四个部分（更多可参考第4.3.2节）。每个四元数由四个实数表示，每个实数与不同的部分相关联。由于四元数有四个分量，我们选择将它们表示为向量，但为了区分它们，我们给它们戴上帽子：
。我们从四元数的一些数学背景开始，然后用它来构造各种有用的转换。
4.3.1 数学背景
我们从四元数的定义开始。
定义：四元数
可以通过以下方式定义，都是等价的。
变量
称为四元数
的实部。虚部是
，而
、
和
称为虚数单位。
对于虚部
，我们可以使用所有法向量运算，例如加法、缩放、点积、叉积等。使用四元数的定义，推导出两个四元数
和
之间的乘法运算，如下所示。请注意，虚数单位的乘法是不可交换的。
从这个方程可以看出，我们同时使用叉积和点积来计算两个四元数的乘法。
除了四元数的定义，还需要加法、共轭、范数和单位元素的定义：
当
被简化时（结果如上所示），虚部抵消，只剩下实部。范数有时表示为
[1105]。上面的结果是可以导出一个乘法逆，用
表示。方程
对逆必须成立（这对于乘法逆是常见的）。我们从范数的定义推导出一个公式：
\[{n(\hat{\rm\pmb{q}})}^2 = \hat{\rm\pmb{q}}\hat{\rm\pmb{q}}^* \Longleftrightarrow \frac{\hat{\rm\pmb{q}}\hat{\rm\pmb{q}}^*}{{n(\hat{\rm\pmb{q}})}^2} = 1 \tag{4.34} \]
这给出了乘法逆，如下所示：
\[\pmb{逆:} {\hat{\rm\pmb{q}}}^{-1} = \frac{1}{{n(\hat{\rm\pmb{q}})}^2}\hat{\rm\pmb{q}}^* \]
逆的公式使用了标量乘法，可以从方程4.3.1中看到的乘法推导出这个运算：
, 并且
。这意味着标量乘法是可交换的：
。
以下规则集合很容易从定义中推导出来：
单位四元数
使得
。由此可知
可写作:
对于某个三维向量
，使得
，因为
当且仅当
. 正如将在下一节中看到的，单位四元数非常适合以最有效的方式创建旋转和方向。但在此之前，会为单位四元数引入一些额外的操作。
对于复数，二维单位向量可以写成
。 四元数的等价物是
根据公式4.41，单位四元数的对数函数和幂函数为：
4.3.2 四元数变换
我们现在将研究四元数集的一个子类，即单位长度的子类，称为单位四元数。关于单位四元数的最重要的事实是它们可以表示任何三维旋转，而且这种表示非常紧凑和简单。
现在我们将描述是什么使单位四元数对旋转和方向如此有用。首先，将点或向量的四个坐标
代入四元数
的分量，并假设我们有一个单位四元数
。可以证明
将
（以及点
）绕轴
旋转角度
。注意，由于
是一个单位四元数，
。参见图4.9。
图4.9. 由单位四元数表示的旋转变换的图示，
。变换围绕轴
旋转
弧度。
的任何非零实数倍数也表示相同的变换，这意味着
和
表示相同的旋转。也就是说，取反轴
和实部
会创建一个与原始四元数完全一样旋转的四元数。这也意味着从矩阵中提取四元数可以返回
或
。
给定两个单位四元数
和
，首先应用
再应用
到四元数
（可以解释为点
）的级联由公式 4.44 给出：
这里，
是单位四元数，表示单位四元数
和
的级联。
矩阵转换
由于经常需要将几种不同的变换组合起来，而且大部分都是矩阵形式，因此需要一种方法将式4.43转化为矩阵。四元数
可以转换为矩阵
，如公式4.45[1633,1634]所示：
在这里，标量是
。 对于单位四元数，上式可简化为：
一旦构造了四元数，就不需要计算三角函数，因此转换过程在实践中很有效率。
从正交矩阵
到单位四元数
的逆转换要复杂一些。此过程的关键是与公式4.46中的矩阵的以下差异：
这些方程的含义是，如果
已知，则可以计算向量
的值，从而推导出
。
的迹由下式计算:
对于单位四元数来说，可得出以下转换：
为了有一个数值稳定的程序[1634]，小数除法应该被避免。因此，首先设置
，由此得出:
这反过来意味着
、
、
和
中的最大值，确定了
、
、
和
中最大的。如果
最大，则使用公式4.49导出四元数。否则，我们注意到以下内容成立：
然后使用上述适当方程计算
、
和
中的最大值，然后使用方程4.47计算
的其余分量。Schüler[1588]提出了一种无分支但使用四个平方根的变体。
球面线性插值
球面线性插值是一种运算，在给定两个单位四元数
和
以及参数
的情况下，计算插值四元数。例如，这对于动画对象很有用。它对于插值相机方向没有用，因为相机的“向上”矢量在插值过程中可能会倾斜，通常是一种干扰效果。
此运算的代数形式由复合四元数
表示，如下所示：
但是，对于软件实现，以下形式更合适，其中slerp代表球面线性插值：
为了计算这个方程所需的φ，可以使用以下式子：
[325]。对于
，slerp函数计算（唯一的
）插值四元数，它们共同构成四维单位球面上从
到
的最短弧。圆弧位于由
,
和原点给出的平面与四维单位球面的交点形成的圆上。如图 4.10 所示。计算出的旋转四元数以恒定速度绕固定轴旋转。像这样的曲线具有恒定的速度，因此加速度为零，称为测地曲线[229]。过原点的平面与球面的交点在球面上形成一个大圆，这个圆的一部分称为大圆弧。
图4.10. 单位四元数表示为单位球面上的点。函数slerp用于四元数之间的插值，插值的路径是球体上的一个大圆弧。请注意，从
到
和从
到
到
的插值不是一回事，即使它们到达相同的方向。
slerp函数非常适合在两个方位之间进行插值，并且有良好的效果（固定轴，恒速）。使用多个欧拉角进行插值时，情况并非如此。实际上，直接计算slerp是一项涉及调用三角函数的昂贵操作。Malysau[1114]讨论了将四元数集成到渲染管线中。他指出，当不使用slerp而只是在像素着色器中对四元数进行归一化时，对于90度角，三角形方向的误差最大为 4度。光栅化三角形时，此误差率是可以接受的。Li[1039, 1040]提供了更快的增量方法来计算slerps，并且不会牺牲任何准确性。Eberly[406]提出了一种仅使用加法和乘法计算slerps的快速技术。
当有两个以上的方向时，比如
，并且我们想要从
到
到
，依此类推直到
，可以直接使用slerp。现在，当我们接近
时，我们将使用
和
作为 slerp 的参数。通过
后，我们将使用
和
作为 slerp 的参数。这将导致方向插值中出现突然的抖动，如图4.10所示。这类似于当点被线性插值时发生的情况；参见第720页图17.3的右上部分。有些读者可能希望在阅读第17章中的样条曲线后重新阅读以下段落。
更好的插值方法是使用某种样条。我们在
和
之间引入了四元数
和
。球面三次插值可以在四元数
，
，
和
的集合内定义。令人惊讶的是，这些额外的四元数计算如下[404]
：
通过三次样条平滑算法，
和
用来对四元数进行球面插值，如公式4.55所示：
从上面可以看出，squad函数是使用slerp从同样的球面插值构建的（第17.1.1节有关点的重复线性插值的信息）。插值将通过初始方向
，但不通过
——这些用于指示初始方向的切线方向。
从一个向量到另一个向量的旋转
一个常见的操作是通过尽可能最短的路径从一个方向
转换到另一个方向
。四元数的数学运算极大地简化了这个过程，并显示了四元数与这种表示的密切关系。首先，将
和
归一化。然后计算单位旋转轴，称为
，计算为
。 接下来，
和
，其中
是
和
之间的角度。表示从
到
的旋转的四元数是
。事实上，使用半角关系和三角恒等式简化
，可得出[1197]：
以这种方式直接生成四元数（相对于标准化叉积
）避免了当
和
指向几乎相同的方向时的数值不稳定[1197]。当
和
指向相反的方向时，两种方法都会出现稳定性问题，因为发生了除以零的情况。当检测到这种特殊情况时，任何垂直于
的旋转轴都可以用来旋转到
。
有时我们需要从
到
旋转的矩阵表示。在对等式4.46进行一些代数和三角简化后，旋转矩阵变为[1233]:
在这个等式中，我们使用了以下中间计算：
可以看出，由于简化，所有平方根和三角函数都消失了，因此这是创建矩阵的有效方法。请注意，公式4.57的结构类似于公式4.30的结构，并注意后一种形式如何不需要三角函数。
请注意，当
和
平行或接近平行时必须小心，因为这时
。如果
，那么我们可以返回单位矩阵。然而，如果
，那么我们可以绕任意轴旋转
弧度。该轴可以是
和任何其他不平行于
的向量的叉积（第4.2.4节）。Möller和Hughes使用Householder矩阵以不同的方式处理这种特殊情况[1233]。
公平地说，Robinson[1502]在1958年使用四元数进行刚体模拟。
当且仅当
和
不相反。
Shoemake[1633]给出了另一个推导。