四大正切圆柱投影
大地测量学中，将球体投影到平面上有无数种算法，也可以分为无数类：https://map-projections.net/projections-list.php，但常用的有以下几种分类：
- 按照投影后的形状可以分为三大类：圆柱、圆锥、圆形；
- 按照投影面与球面的旋转关系又可以分为三大类：正轴、横轴、斜轴；
- 按照投影面与球体的位置关系又可以分为三大类：相割、相切、相离。
- ......
而各种分类组合中，最最常用的一种是正轴切圆柱投影，以下简称正切投影。而这种投影按照纵轴拉伸程度又可以分为四大种：等面积、等距、等角、中心透视，对于这四种投影我在之前的文章中分别有一一介绍：
今天我们来做一个总结，关于这四种正切投影的性质比较。首先它们的相同点是：横轴（东西）方向上的拉伸一致（投影公式都是X = λ；X' = 1），微元的宽被放大至Secant(φ) ≥ 1倍，投影出来的地图的宽度都等于球体的直径（或者赤道长度），毕竟圆柱与地球相切于赤道，但是，地图的高度各不相同，微元的高（南北方向）被缩放的倍数各不相同。
四大圆柱投影 | 等面积 | 等距（等高） | 等角（等形） | 中心透视 |
|---|---|---|---|---|
特点 | 微元面积保持不变 | 纵轴距离保持不变；公式最简单 | 投影后形状保持不变 | 从中心发射线投射 |
积分后的宽高比 | π : 1 | 2 : 1 | 1 : 1（85°纬线内） | 1 : ∞ |
微元高度的缩放倍数Y' | Y' = Cosine(φ) ≤ 1 | Y' = 1 | Y' = Secant(φ) ≥ 1 | Y' = Secant²(φ) ≫ 1 |
能否覆盖全球 | 能 | 能 | 不能 | 更不能 |
Y投影公式 | Y = Sine(Φ) | Y = Φ | Y = Ln(Secant(φ) + Tangent(φ)) | Y = Tangent(φ) |
首次应用 | 1772年 Lambert, Johann Heinrich | 公元100年 Marinus of Tyre 也叫Plate carrée简易投影 | 1569年 G.Mercator 最常用的地图投影 | 1850年 几乎没人用 |
标准 | EPSG:9834 | EPSG:4326 | EPSG:3857（WebMercator） | ？ |
参考文档 | https://baike.baidu.com/item/正轴等面积切圆柱投影/371759 | https://malagis.com/equidistant-cylindrical-projection.html | https://desktop.arcgis.com/zh-cn/arcmap/10.4/map/projections/mercator.htm | https://en.wikipedia.org/wiki/Central_cylindrical_projection |
地图学中有一个常用的辅助图标，叫做Tissot's indicatrix（天梭的指标？）用来表示投影后微元的形状大小的扭曲程度，这4种正切圆柱投影按照南北方向的缩放程度排序为：等积、等高、等形、透视，它们的Tissot图如下：
等面积投影：每个椭圆的面积相等，东西拉伸，南北压缩。
等距简易投影：每个椭圆的高相等，东西拉伸，南北不变。
Mercator等角投影：（取南北85°纬线以内）全都是正圆，东西南北都拉伸相同的倍数。
变态的中心透视投影：（取南北75°纬线以内）南北拉伸的比东西方向更快！
图中每个椭圆还原到球面上都是一模一样大小的正圆形，用以代表地球上足够小的一块形状，比如一个操场，但是投影后我们发现在不同的经纬度地区发生了不同程度的扭曲。最后我们将这4个椭圆都放到一起来比较一下，就一目了然了，其中Φ代表纬度：
