自动驾驶运动规划-Reeds Shepp曲线

相比于Dubins Car只允许车辆向前运动，Reeds Shepp Car既允许车辆向前运动，也允许车辆向后运动。

1、车辆模型

车辆运动模型仍然采用Simple Car Model，但增加对车辆运动方向的描述，运动方程如下：

其中，u_1 \in \{-1, 1\} ，u_2 \in [-tan \phi_{max}, tan \phi_{max}] 。当u_1 = 1 时，表示车辆向前运动；

时，表示车辆向后运动。

2、Reeds-Shepp Car

J Reeds和L Shepp证明Reeds Shepp Car从起点q_I 到终点q_G 的最短路径一定是下面的word的其中之一。word中的"|"表示车辆运动朝向由正向转为反向或者由反向转为正向。

图片来源：Planning Algorithm，http://planning.cs.uiuc.edu/node822.html

每个word都由L^{+} ，L^{-} ，R^{+} ，R^{-} ，S^{+} ，S^{-}

这六种primitives组成，其中L^{+}

表示车辆左转前进；L^{-}

表示车辆左转后退；R^{+}

表示车辆右转前进；R^{-}

表示车辆右转后退；S^{+}

表示车辆直行前进；S^{-}

表示车辆直行后退。

Reeds and Shepp曲线的word所有组合不超过48种，所有的组合一一枚举如下：

图片来源：Planning Algorithm，http://planning.cs.uiuc.edu/node822.html

3、计算过程优化

3.1 位置姿态统一化

车辆的起点和终点的位置姿态是难以穷举的，所以一般在计算之前，会将车辆的姿态归一化：

起始姿态：q_I = (0, 0, 0)；目标姿态：q_G=(x, y, \phi) ；其中，\phi=\theta_2 - \theta_1 车辆的转弯半径：r = 1;假设车辆的初始姿态为q_I = (x_1, y_1, \theta_1) ，目标姿态q_G=(x_2, y_2, \theta_2) ，车辆的转向半径为r = \rho ，如何实现姿态的归一化呢，实际上归一化的过程就是向量的平移和旋转过程。

首先将向量\vec{q_I q_G} 平移到坐标原点(0,0)。平移q_I 到O(0, 0)，平移向量为(-x_1, -y_1) ；对q_G 应用同样的平移向量:q_G = [x_2 - x_1, y_2 - y_1] ，最后得到平移后的向量：

应用旋转矩阵，将车辆的起点朝向转到x轴正向：

旋转之后，目标位置朝向更新为。

将车辆转向半径缩放到1，于是最终得到车辆运动的起始姿态：

目标姿态：

代码如下:

double x1 = s1->getX(), y1 = s1->getY(), th1 = s1->getYaw();
double x2 = s2->getX(), y2 = s2->getY(), th2 = s2->getYaw();
double dx = x2 - x1, dy = y2 - y1, c = cos(th1), s = sin(th1);
double x = c * dx + s * dy, y = -s * dx + c * dy, phi = th2 - th1;

return ::reedsShepp(x / rho_, y / rho_, phi)

3.2 利用对称关系降低求解复杂度

Reeds Shepp曲线有48种组合，编程时一一编码计算比较麻烦，因此可以利用其对称性降低求解工作量。

以转向不同的CSC类型为例，它包含4种曲线类型：L^{+}S^{+}R^{+} 、L^{-}S^{-}R^{-} 、R^{+}S^{+}L^{+} 、R^{-}S^{-}R^{-} ，我们只需要编码推导得到L^{+}S^{+}R^{+} 的计算过程，其它几种直接可以通过对称性关系得到车辆运动路径。给定车辆起始姿态q_I=(160, 160, 0) ，目标姿态q_G=(190, 180, 30) ，可以得到L^{+}S^{+}R^{+} 的运动路径如下：

{ Steering: left	    Gear: forward	distance: 0.63 }
{ Steering: straight	Gear: forward	distance: 4.02 }
{ Steering: right	    Gear: forward	distance: 0.11 }

车辆先左转、再直行、最后右转的运动效果如下：

L^{+}S^{+}R^{+}类型曲线

下面看看利用对称性求解其它几种路径的方法。

3.2.1 timefilp对称性

假设我们推导出从起始姿态q_I(x_1,y_1, \theta_1) 达到目标姿态(x_2, y_2, \theta_2) 的路径计算方法：

path = calc_path(x_1 , \theta_1 , x_2 , y_2 , \theta_2 )利用对称性，将目标Pose修改为(-x_2, y_2, -\theta_2) ，

代入同样的Path计算函数：path = calc_path(x_1 , y_1 , \theta_1 , -x_2 , y_2, -\theta_2 )就得到从(x_1, y_1, \theta_1) 到(x_2, y_2, \theta_2) 的L^{-}S^{-}R^{-}

类型的运动路径。计算出的L^{-}S^{-}R^{-} 的车辆运动路径如下：

{ Steering: left	    Gear: backward	distance: -2.85 }
{ Steering: straight	Gear: backward	distance: 4.02 }
{ Steering: right	    Gear: backward	distance: -2.32 }

下面是车辆的运动效果，先左转、再直行、最后右转一路倒车进入另一个车位。

L^{-}S^{-}R^{-}类型曲线

3.2.2 reflect对称性

将目标姿态修改为(x_2, -y_2, -\theta_2) ，代入同样的Path计算函数：path = calc_path(x_1 , y_1 , \theta_1 , x_2 , -y_2 , -\theta_2 )就得到从(x_1, y_1, \theta_1) 到(x_2, y_2, \theta_2) 的R^{+}S^{+}L^{+} 类型的运动路径。计算出的R^{+}S^{+}L^{+} 的车辆运动路径如下：

{ Steering: right	    Gear: forward	distance: -0.56 }
{ Steering: straight	    Gear: forward	distance: 5.28 }
{ Steering: left	    Gear: forward	distance: -0.03 }

下面是车辆先右转、再直行、再左转从一个车位进入另一个车位的运动效果。

R^{+}S^{+}L^{+}类型曲线

3.2.3 timeflip + reflect

结合timeflip对称性和reflect对称性，将目标姿态修改为(-x_2, -y_2, \theta_2) ，代入同样的Path计算函数： path = calc_path(x_1 , y_1 , \theta_1 , -x_2 , -y_2 , \theta_2 )就得到从(x_1, y_1, \theta_1) 到(x_2, y_2, \theta_2) 的R^{-}S^{-}L^{-} 类型的运动路径。计算出的R^{-}S^{-}L^{-}

的车辆运动路径如下：

{ Steering: right	Gear: backward	distance: -1.86 }
{ Steering: straight	Gear: backward	distance: 5.28 }
{ Steering: left	Gear: backward	distance: -2.38 }

下面是车辆先右转、再直行、再左转，全程倒车从一个车位进入另一个车位的运动效果。

R^{-}S^{-}L^{-}类型曲线

通过对称性，48种不同的Reeds Shepp曲线通过不超过12个函数就可以得到全部运动路径。

参考链接

1、Optimal paths for a car that goes both forwards and backwards, J Reeds, L Shepp - Pacific journal of mathematics, 1990

2、OMPL的Reeds Sheep实现代码。(https://ompl.kavrakilab.org/ReedsSheppStateSpace_8cpp_source.html)

3、Reeds Sheep的Python代码实现。(https://github.com/nathanlct/reeds-shepp-curves/blob/master/reeds_shepp.py)