深度学习基础：3.反向传播和梯度下降

动态计算图

计算图可以用来表示两个变量之间的关系。例如，构建y=x^2，则可用一张简单计算图进行表示。 pytorch支持动态计算图，动态意义在于，当创建其它由计算图中变量而来的新变量时，新变量会自动添加到计算图内。 而Tensorflow v1仅支持静态计算图，需要提前定义各个变量的关系，灵活性不如动态计算图。

反向传播

通过反向传播，可以计算各变量的导数。

x = torch.tensor(1.,requires_grad = True) #requires_grad=True表示x可导
y = x ** 2
y.backward()
# 在y=x**2函数关系基础上，x取值为1时的导数值
x.grad

输出：

tensor(2.)

梯度下降

梯度下降的代数表示

令多元线性回归方程为

令

出于加快迭代收敛速度的目标，我们在定义梯度下降的损失函数L时，在原SSE基础上进行比例修正，新的损失函数

，其中，m为样本个数。

损失函数有：

并且，根据此前描述过程，在开始梯度下降求解参数之前，我们首先需要设置一组参数的初始取值

，以及学习率\alpha ，然后即可执行迭代运算，其中每一轮迭代过程需要执行以下三步

Step 1.计算梯度表达式

对于任意一个参数w_i ，其梯度计算表达式如下：

Step 2.用学习率乘以损失函数梯度，得到迭代移动距离

Step 3.用原参数减Step 2中计算得到的距离，更新所有的参数w

更新完所有参数，即完成了一轮的迭代，接下来就能以新的一组w_i 参与下一轮迭代。

举例说明

有数据集表示如下：

假设，我们使用

进行拟合，则SSE为：

此时，SSE就是一个关于w的一元函数。当使用最小二乘法进行求解时，SSE就是损失函数，并且SSE对于w求导为0的点就是最小值点，因此有：

但我们使用梯度下降求解时：

由于梯度表示方向，在某些情况下我们可以对其绝对数值进行一定程度上的“缩放”，此时我们规定有效梯度是原梯度的1/28，则有

设步长$\alpha=

w_0=0$，则迭代过程如下：

第一轮迭代：

第二轮迭代：

第三轮迭代：

第四轮迭代：

依次类推：

梯度下降的矩阵表示

令多元线性回归方程为

令

因此，方程可表示为

另外，我们将所有自变量的值放在一个矩阵中，有

此时，SSE可表示为：

梯度下降损失函数为：

同样，我们需要设置初始化参数

，以及学习率\alpha ，然后即可开始执行迭代过程，同样，每一轮迭代需要有三步计算：

Step 1.计算梯度表达式

对于参数向量\hat w ，其梯度计算表达式如下：

Step 2.用学习率乘以损失函数梯度，得到迭代移动距离

Step 3.用原参数减Step 2中计算得到的距离，更新所有的参数w

更新完所有参数，即完成了一轮的迭代，接下来就能以新的\hat w 参与下一轮迭代。

编程实现

编写一个函数求梯度，默认学习率为0.01，迭代次数为1000次。

def gradDescent(X, y, eps = torch.tensor(0.01, requires_grad = True), numIt = 1000):
    m, n = X.shape
    weights = torch.zeros(n, 1, requires_grad = True)
    for k in range(numIt):
        grad = torch.mm(X.t(), (torch.mm(X, weights) - y))/2
        weights = weights - eps * grad
    return weights

X = torch.tensor([[1.,1],[3, 1]], requires_grad = True)
X

tensor([[1., 1.],
        [3., 1.]], requires_grad=True)

y = torch.tensor([2.,4], requires_grad = True).reshape(2,1)
y

tensor([[2.],
        [4.]], grad_fn=<ViewBackward>)

gradDescent(X, y)

tensor([[1.0372],
        [0.9102]], grad_fn=<SubBackward0>)

weights = gradDescent(X, y, numIt = 10000)
weights

tensor([[1.0000],
        [1.0000]], grad_fn=<SubBackward0>)

torch.mm((torch.mm(X,weights)-y).t(), torch.mm(X,weights)-y)

tensor([[2.8518e-10]], grad_fn=<MmBackward>)