平面四节点单元(Q4)的误差分析

低阶平面四边形单元(Q4)的误差分析

当用四节点平面单元或者八节点空间六面体单元计算梁或者薄板弯曲问题时，由于单元边界的位移呈线性分布，会产生较大的误差，从而引起剪切锁住现象。如图1所示的纯弯曲悬臂梁，Q4单元计算的结果远低于解析解。

对于纯弯曲的梁，其位移场的解析解为

其中为常数,为泊松比。梁的变形如图2所示，此时与位移相应的应力场是

应力分布如图3所示。

现在选用平面Q4单元，其位移场为

其中，为节点自然坐标,，为节点位移分量。如果用Q4单元去计算这个梁，将会得到如图4-6所示的应力分布和变形

显然，梁在纯弯曲状态下的变形，其上、下边缘为曲线，而由Q4单元所得到的位移，其上、下边缘却成了直线。对比解析解和有限元解可知，Q4单元误差产生的原因是单元位移分量缺少完整的二次项。