Wilson单元

本篇包含三个部分：分块矩阵、变分法运算以及Wilson单元推导

(一) 分块矩阵

对于分块矩阵，其子矩阵可看作一个元素参与计算。比如矩阵乘法：

(二) 变分运算

弹性体的势能包括弹性体的应变能和外载荷的势能

其中，表示面力. 单元位移场可表示为

其中，表示节点位移数组。。(1)可写成

最小势能原理指出，真实位移 将使系统的势能取极小值。根据变分原理，欲使取 极小值，必须有泛函的变分为零，即

注：变分运算和求导一样。(2)的矩阵可看作只有一个子矩阵的分块矩阵，那么可认为

类似求导，(2)作变分运算之后，得到

也就是平常熟悉的

(三) Wilson单元推导

前文分析了Q4单元误差大的原因，即单元位移场分量缺少完整的二次项。Wilson提出附加位移场，即在原有的位移场基础上，增加两个附加二次项以提升单元精度。

当单元是矩形时，只需对位移分量v做修正，而对于一般的四边形单元，uv都需要修正，这就形成了Wilson单元的位移场。

写成矩阵形式

其中

应变矩阵

带入(1)得到

记

分别对和作变分运算 得到

由得

带入得

记

就是熟悉的

这里借鉴了GUYAN缩减法的思路，消去参数λ。

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