马氏距离 (马哈拉诺比斯距离) (Mahalanobis distance)

马氏距离(Mahalanobis distance)是由印度统计学家马哈拉诺比斯(P. C. Mahalanobis)提出的，表示点与一个分布之间的距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是，它考虑到各种特性之间的联系，本文介绍马氏距离相关内容。

欧氏距离的缺点

距离度量在各个学科中有着广泛用途，当数据表示为向量\overrightarrow{\mathbf{x} }=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T}和\overrightarrow{\mathbf{y}}=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)^{T}时，最直观的距离度量就是欧式距离了：

但是这种度量方式没有考虑到各个维度之间的差异和相关等因素，不同的向量度量距离时权重都相同，这可能会对结果可信度产生干扰。

马氏距离

度量样本距离某个分布的距离，先将样本与分布标准化到多维标准正态分布后度量欧式距离

思想

• 将变量按照主成分进行旋转，消除维度间的相关性
• 对向量和分布进行标准化，让各个维度同为标准正态分布

推导

• 分布由n个m维向量刻画，即共n条数据，每条数据由一个m维向量表示：

• X的均值为{\mu _X}
• X的协方差矩阵为:

• 为消除维度间的相关性，通过一个m \times m的矩阵Q^T对X进行坐标表换，将数据映射到新的坐标系下，用Y表示：

此时我们期望在Q^T的作用下，Y 的向量表示中，不同维度之间是相互独立的，此时Y 的协方差矩阵应该是一个对角矩阵（除对角线元素外，其余元素均为0）。

• Y 的均值：u_{Y}=Q^{T} u_{X}
• Y 的协方差矩阵：

• 从这里可以发现，当 Q 是\Sigma_{X}的特征向量组成的矩阵时，\Sigma_{Y} 一定是对角矩阵，且值为每个特征向量对应的特征值。由于\Sigma_{X}是对称矩阵，因此肯定可以通过特征分解得到 Q ，且 Q 是正交矩阵。
• \Sigma_{Y}的对角线元素含义为Y中每个向量的方差，因此均为非负值，从这个角度可以说明协方差矩阵的特征值为非负值。
• 而且事实上协方差矩阵本身就是半正定的，特征值均非负
• 不相关与独立的问题：
  • 此处我们说明了变换后的向量之间相关系数为0，也就是向量之间不相关
  • 而事实上独立是比不相关更强的约束，不相关往往不能推出独立
  • 但在高斯分布下，不相关和独立是等价的

接下来我们对向量进行标准化

• 当我们减去均值后，向量已经变成了0均值的向量，距离标准化仅差将方差变为1
• 在经历了Y=Q^TX变换后，Y的协方差矩阵已经成为了对角阵，对角线元素为Y中各个维度数据的方差，那么我们仅需让Y中各个维度数据除以该维度数据的标准差即可。
• 我们将去相关化、0均值化、标准化过后的数据记为Z：

• 而马氏距离就是度量纠正过后的向量Z到分布中心（原点）的欧式距离：

参考资料

• https://baike.baidu.com/item/马氏距离/8927833?fr=aladdin
• https://zhuanlan.zhihu.com/p/109100222