PyTorch学习系列教程：Tensor如何实现自动求导

luanhz

发布于 2022-09-19 11:36:36

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发布于 2022-09-19 11:36:36

文章被收录于专栏：小数志小数志

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导读

今天本文继续PyTorch学习系列。虽然前几篇推文阅读效果不是很好（大体可能与本系列推文是新开的一个方向有关），但自己选择的路也要坚持走下去啊！

前篇推文介绍了搭建一个深度学习模型的基本流程，通过若干个Epoch即完成了一个简单的手写数字分类模型，效果还不错。在这一过程中，一个重要的细节便是模型如何学习到最优参数，答案是通过梯度下降法。实际上，梯度下降法是一类优化方法，是深度学习中广泛应用甚至可称得上是深度学习的基石。本篇不打算讲解梯度下降法，而主要来谈一谈Tensor如何实现自动求导，明白这一过程方能进一步理解各种梯度下降法的原理。

讲解Tensor如何实现自动求导，本文分别从理论分析和代码实践的角度加以陈述：

Tensor中的自动求导：与梯度相关的属性，前向传播和反向传播
自动求导探索实践：以线性回归为例，探索自动求导过程

01 Tensor中的自动求导分析

Tensor是PyTorch中的基础数据结构，构成了深度学习的基石，其本质上是一个高维数组。在前序推文中，实际上提到过在创建一个Tensor时可以指定其是否需要梯度。那么是否指定需要梯度(requires_grad)有什么区别呢？实际上，这个参数设置True/False将直接决定该Tensor是否支持自动求导并参与后续的梯度更新。具体来说，Tensor数据结构中，与梯度直接相关的几个重要属性间的关系如下：

原创拙图，权当意会

透过上面这个类图，大概想表达以下含义：

在一个Tensor数据结构中，最核心的属性是data，这里面存储了Tensor所代表的高维数组（当然，这里虽然称之为高维，但实际上可以是从0维开始的任意维度）；
通过requires_grad参数控制两个属性，grad和grad_fn，其中前者代表当前Tensor的梯度，后者代表经过当前Tensor所需求导的梯度函数；当requires_grad=False时，grad和grad_fn都为None，且不会存在任何取值，而只有当requires_grad=True时，此时grad和grad_fn初始取值仍为None，但在后续反向传播中可以予以赋值更新
backward()，是一个函数，仅适用于标量Tensor，即维度为0的Tensor
is_leaf：标记了当前Tensor在所构建的计算图中的位置，其中计算图既可看做是一个有向无环图（DAG），也可视作是一个树结构。当Tensor是初始节点时，即为叶子节点，is_leaf=True，否则为False。

目前，Tensor支持自动求导功能对数据类型的要求是仅限于浮点型：" As of now, we only support autograd for floating point Tensor types ( half, float, double and bfloat16) and complex Tensor types (cfloat, cdouble). "——引自PyTorch官方文档

了解了Tensor所具有上述属性和方法，那么它是如何实现自动求导的呢？这就又要涉及到前向传播和反向传播这两个重要概念。简单来说，如果将神经网络的每层比作一系列函数映射（f1, f2, ..., fn）的话，那么：

前向传播，就是依据计算流程实现数据(data)的计算和计算图的构建：

y = f_n(…f_2(f_1(x)))

反向传播，反向传播就是依据所构建计算图的反方向递归求导和赋值梯度：

\frac{\partial{loss}}{\partial w} = \frac{\partial loss}{\partial f_n(·)}\frac{\partial f_{n}(·)}{\partial f_{n-1}(·)}···\frac{\partial f_{1}(·)}{\partial w}

\frac{\partial{loss}}{\partial w} = \frac{\partial y}{\partial {f_n}}\frac{\partial {f_n}}{\partial {f_{n-1}}}…\frac{\partial {f_1}}{\partial {x}}

而如果用图形化描述这一过程，则是：

其中，在前向传播过程中，是按照流程完成从初始输入（一般是训练数据+网络权重）直至最终输出（一般是损失函数）的计算过程，同步完成计算图的构建；而在反向传播过程中，则是通过调用loss.backward()函数，依据计算图的相反方向递归完成各级求导（本质上就是求导的链式法则）。同时，对于requires_grad=False的tensor，在反向传播过程中实际不予以求导和更新，相应的反向链条被切断。

另外值得补充说明的是，在PyTorch早期版本中设计用于支持自动求导的数据类型为Variable，英文含义即为参数，特指网络中待优化的参数。其中，Variable与Tensor的关系是：Variable是对Tensor的二次封装，专门用于支持梯度求解。而在后来，Variable逐渐弃用（deprecated），并将其特有的自动求导功能与Tensor合并，并通过Tensor的requires_grad属性来区分一个Tensor是否支持求导。显然，这样的设计是更为合理的，对使用也更加方便统一。

已进入历史舞台的Variable类型

02 Tensor中的自动求导实践

这里，我们以一个简单的单变量线性回归为例演示Tensor的自动求导过程。

1.创建训练数据x, y和初始权重w, b

# 训练数据，目标拟合线性回归 y = 2*x + 3
x = torch.tensor([1., 2.])
y = torch.tensor([5., 7.])
# 初始权重，w=1.0, b=0.0
w = torch.tensor(1.0, requires_grad=True)
b = torch.tensor(0.0, requires_grad=True)

此时查看w, b和x, y的梯度相关的各项属性，结果如下

# 1. 注意：x和y设置为requires_grad=False
x.grad, x.grad_fn, x.is_leaf, y.grad, y.grad_fn, y.is_leaf
# 输出：(None, None, True, None, None, True)

# 2. w和b初始梯度均为None，且二者均为叶子节点
w.grad, w.grad_fn, w.is_leaf, b.grad, b.grad_fn, b.is_leaf
# 输出：(None, None, True, None, None, True)

2.构建计算流程，实现前向传播

# 按计算流程逐步操作，实现前向传播
wx = w*x
wx_b = wx + b
loss = (wx_b - y)
loss2 = loss**2
loss2_sum = sum(loss2)

查看各中间变量的梯度相关属性：

# 1.查看是否叶子节点
wx.is_leaf, wx_b.is_leaf, loss.is_leaf, loss2.is_leaf, loss2_sum.is_leaf
# 输出：(False, False, False, False, False)

# 2.查看grad
wx.grad, wx_b.grad, loss.grad, loss2.grad, loss2_sum.grad
# 触发Warning
# UserWarning: The .grad attribute of a Tensor that is not a leaf Tensor is being accessed. Its .grad attribute won't be populated during autograd.backward(). If you indeed want the .grad field to be populated for a non-leaf Tensor, use .retain_grad() on the non-leaf Tensor. If you access the non-leaf Tensor by mistake, make sure you access the leaf Tensor instead. See github.com/pytorch/pytorch/pull/30531 for more informations. (Triggered internally at  aten\src\ATen/core/TensorBody.h:417.)
  return self._grad
# 输出：(None, None, None, None, None)

3.查看grad_fn
wx.grad_fn, wx_b.grad_fn, loss.grad_fn, loss2.grad_fn, loss2_sum.grad_fn
# 输出：
(<MulBackward0 at 0x23a875ee550>,
 <AddBackward0 at 0x23a875ee8e0>,
 <SubBackward0 at 0x23a875ee4c0>,
 <PowBackward0 at 0x23a875ee490>,
 <AddBackward0 at 0x23a93dde040>)

3.对最终的loss调用backward，实现反向传播

loss2_sum.backward()

依次查看各中间变量和初始输入的梯度

# 1. 中间变量（非叶子节点）的梯度仅用于反向传播，但不对外暴露
wx.grad, wx_b.grad, loss.grad, loss2.grad, loss2_sum.grad
# 输出：(None, None, None, None, None)

# 2. 检查叶子节点是否获得梯度：w, b均获得梯度，x, y不支持求导，仍为None
w.grad, b.grad, x.grad, y.grad
# 输出：(tensor(-28.), tensor(-18.), None, None)

至此，即通过前向传播的计算图和反向传播的梯度传递，完成了初始权重参数的梯度赋值过程。注意，这里w和b是网络待优化参数，而一旦二者有了梯度，则可进一步应用梯度下降法予以更新。

那么进一步地，这里w.grad和b.grad的数值是如何得到的呢？我们实际手动求解一遍。首先分别推导loss对w和b的偏导公式：

\frac{\partial{loss2\_sum}}{\partial w} = \frac{\partial (w*x+b-y)^2}{\partial w}=2(w*x+b-y)x

\frac{\partial{loss2\_sum}}{\partial b} = \frac{\partial (w*x+b-y)^2}{\partial b}=2(w*x+b-y)

而后，带入两组训练数据(x, y)=(1, 5)和(x, y)=(2, 7)，并将两组训练数据对应的梯度求和：

# w的梯度：2*(1*1 + 0 - 5)*1 + 2*(1*2 + 0 - 7)*2 = -28
# b的梯度：2*(1*1 + 0 - 5) + 2*(1*2 + 0 - 7) = -18

显然，手动计算结果与上述演示结果是一致的。

注意：在多个训练数据(batch_size)参与一次反向传播时，返回的参数梯度是在各训练数据上的求得的梯度之和。

摘自PyTorch官网

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