三角形的五心_三角形面积相等的定律

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

1. 概述
   1. 三角形的五心包括重心、垂心、外心、内心和旁心，是解决三角形问题的一种工具，也是一种研究对象。
   2. 前置知识：三角形等积变换、轴对称、相似、圆
2. 内容 重心 重心的概念 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形的内部如图，G为△ABC的重心 重心的性质 基本性质 三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍，即\displaystyle \frac{AG}{GD}=\frac{BG}{GE}=\frac{CG}{GF}=2 证明1 由共边定理得 由蝴蝶定理得 于是有 由共边定理得\frac{AG}{DG}=\frac{\triangle ACG}{\triangle CDG}=2 同理可推得其他边的关系 证明2 连接DE，由中位线得平行，得八字模型，由相似和中位线\frac{1}{2}得2倍 推论1 设G是\triangle ABC中一点，若S_{\triangle ABG}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}，则G为\triangle ABC的重心 证明 由共边定理（燕尾模型）得\frac{BD}{CD}=\frac{S_{\triangle ABG}}{S_{\triangle ACG}}=1，即G为\triangle ABC中点 同理可证其他中点 推论2 G为\triangle ABCD的重心，若AG^2+BG^2=CG^2，则AD ⊥ BE 证明 倍长中线，得平行且MG=CG，AG=BM，所以\angle MBG = 90^{\circ} G为\triangle ABCD的重心，若AD ⊥ BE，则AG^2+BG^2=CG^2 证明 由垂直得勾股关系，又由直角三角形斜边中线定理得AB=CG，即可得证 推论3 G为\triangle ABC中点，过G作DE ∥BC，PF∥AC，KH∥AB，则frac{DE}{BC}=\frac{FP}{CA}=\frac{KH}{AB}=\frac{2}{3} 证明 连AG并延长至M交BC于M，则M为BC中点 由DG∥CB得\frac{AD}{AB}=\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3} 由相似得frac{DE}{BC}=\frac{FP}{CA}=\frac{KH}{AB} 推论4 G为边长为a的等边三角形ABC的中点，则GA=GB=GC=\frac{\sqrt{3}}{3}a 证明 等边三角形四心合一点，得△ABG为30°、30°、120°型三角形，边之比为1:1:\sqrt{3}，故GA=\frac{AB}{sqrt{3}} 垂心 外心 内心 旁心

发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https://javaforall.cn/167208.html原文链接：https://javaforall.cn