矩阵范数的等价性（原创）[通俗易懂]

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

矩阵范数的等价

设 F=R F = R \mathbb F=\mathbb R 或 C, C , \mathbb C, 对于任意两个 Fn×n F n × n \mathbb F^{n \times n} 上的范数 ∥⋅∥α ‖ ⋅ ‖ α \Vert \cdot\Vert_{\alpha} 与 ∥⋅∥β, ‖ ⋅ ‖ β , \Vert \cdot\Vert_{\beta}, 若存在常数 C1>0,C2>0, C 1 > 0 , C 2 > 0 , C_1 \gt 0, C_2 \gt 0, 使得 ∀X∈Fn×n, ∀ X ∈ F n × n , \forall \mathbf {X} \in \mathbb F^{n \times n},

∥X∥α≤C1∥X∥β,∥X∥β≤C2∥X∥α ‖ X ‖ α ≤ C 1 ‖ X ‖ β , ‖ X ‖ β ≤ C 2 ‖ X ‖ α

\Vert \mathbf {X} \Vert _{\alpha} \le C_1 \Vert \mathbf {X} \Vert _{\beta}, \Vert \mathbf {X} \Vert _{\beta} \le C_2 \Vert \mathbf {X} \Vert _{\alpha} 则称 ∥⋅∥α ‖ ⋅ ‖ α \Vert \cdot\Vert_{\alpha} 与 ∥⋅∥β ‖ ⋅ ‖ β \Vert \cdot\Vert_{\beta} 是等价的。

性质

Fn×n F n × n \mathbb F^{n \times n} 上的任意两种矩阵范数都是等价的。

证明

令 Eij∈Fn×n E i j ∈ F n × n E _{ij} \in \mathbb F^{n \times n} 表示只有在第 i i i 行第 j

j

j 列的元素为 1, 1 , 1, 其他元素都为 0 0 0 的矩阵。 则 ∀X∈Fn×n,X=(xij)n×n=∑i=1n∑j=1nxijEij

∀

X

∈

F

n

×

n

,

X

=

(

x

i

j

)

n

×

n

=

∑

i

=

1

n

∑

j

=

1

n

x

i

j

E

i

j

\forall \mathbf {X} \in \mathbb F^{n \times n}, \mathbf {X}=\begin{pmatrix} x_{ij} \end{pmatrix} _{n \times n}=\sum \limits _{i=1} ^{n} \sum \limits _{j=1} ^{n} x_{ij} E _{ij} 1. 首先证明对于任意一个 Fn×n F n × n \mathbb F^{n \times n} 上的范数 ∥⋅∥, ‖ ⋅ ‖ , \Vert \cdot\Vert, 函数 φ:Fn×n↦R,φ(X)=∥X∥ φ : F n × n ↦ R , φ ( X ) = ‖ X ‖ \varphi:\mathbb F^{n \times n} \mapsto R, \varphi (\mathbf {X})=\left \Vert \mathbf {X} \right \Vert 在 L2 L 2 L_2 范数下是连续的。 对于任意一个 Fn×n F n × n \mathbb F^{n \times n} 上的范数 ∥⋅∥,∀X,Y∈Fn×n, ‖ ⋅ ‖ , ∀ X , Y ∈ F n × n , \Vert \cdot\Vert, \forall \mathbf {X}, \mathbf {Y} \in \mathbb F^{n \times n}, |φ(X)−φ(Y)|=|∥X∥−∥Y∥|≤∥X−Y∥ | φ ( X ) − φ ( Y ) | = | ‖ X ‖ − ‖ Y ‖ | ≤ ‖ X − Y ‖ \vert \varphi (\mathbf {X}) - \varphi (\mathbf {Y}) \vert=\vert \Vert \mathbf {X} \Vert - \Vert \mathbf {Y} \Vert \vert \le \Vert \mathbf {X} - \mathbf {Y} \Vert =∥∑i=1n∑j=1nxijEij−∑i=1n∑j=1nyijEij∥ = ‖ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n x i j E i j − ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n y i j E i j ‖ =\Vert \sum \limits _{i=1} ^{n} \sum \limits _{j=1} ^{n} x_{ij} E _{ij} - \sum \limits _{i=1} ^{n} \sum \limits _{j=1} ^{n} y_{ij} E _{ij} \Vert =∥∑i=1n∑j=1n(xij−yij)Eij∥ = ‖ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ( x i j − y i j ) E i j ‖ =\Vert \sum \limits _{i=1} ^{n} \sum \limits _{j=1} ^{n} (x_{ij} - y_{ij}) E _{ij} \Vert ≤∑i=1n∑j=1n∥(xij−yij)Eij∥ ≤ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n ‖ ( x i j − y i j ) E i j ‖ \le \sum \limits _{i=1} ^{n} \sum \limits _{j=1} ^{n} \Vert (x_{ij} - y_{ij}) E _{ij} \Vert =∑i=1n∑j=1n|xij−yij|∥Eij∥ = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n | x i j − y i j | ‖ E i j ‖ =\sum \limits _{i=1} ^{n} \sum \limits _{j=1} ^{n} \vert x_{ij} - y_{ij} \vert \Vert E _{ij} \Vert →0,X→Y → 0 , X → Y \to 0, \mathbf {X} \to \mathbf {Y} 因此 φ(X) φ ( X ) \varphi (\mathbf {X}) 是连续函数。 2. 于是 φ(Y;α)=∥Y∥α φ ( Y ; α ) = ‖ Y ‖ α \varphi (\mathbf {Y}; \alpha)=\Vert \mathbf {Y} \Vert _{\alpha} 在有界闭集 S={ Y∈Fn×n:∥Y∥2=1} S = { Y ∈ F n × n : ‖ Y ‖ 2 = 1 } S=\{ \mathbf {Y} \in \mathbb F ^{n \times n}:\Vert \mathbf {Y} \Vert _{2}=1 \} 上连续，又 φ(Y;α) φ ( Y ; α ) \varphi (\mathbf {Y} ; \alpha) 在 S S S 恒大于零，因此在 S

S

S 内必有最大值 Cmax>0, C max > 0 , C_{\max} \gt 0, 最小值 Cmin>0, C min > 0 , C_{\min} \gt 0, 同理可得 φ(Y;β)=∥Y∥β φ ( Y ; β ) = ‖ Y ‖ β \varphi (\mathbf {Y}; \beta)=\Vert \mathbf {Y} \Vert _{\beta} 在 S S S 内必有最大值 Dmax>0,

D

max

>

0

,

D_{\max} \gt 0, 最小值 Dmin>0, D min > 0 , D_{\min} \gt 0, 3. ∀X∈Fn×n, ∀ X ∈ F n × n , \forall \mathbf {X} \in \mathbb F^{n \times n}, 若 X=0, X = 0 , \mathbf {X}=\mathbf {0}, 则命题显然成立。 否则 X≠0, X ≠ 0 , \mathbf {X} \neq \mathbf {0}, 令 Y=1∥X∥2X, Y = 1 ‖ X ‖ 2 X , \mathbf {Y}=\dfrac {1}{\Vert \mathbf {X} \Vert_{2}}\mathbf {X} , 则 ∥Y∥2=1, ‖ Y ‖ 2 = 1 , \Vert \mathbf {Y} \Vert _{2}=1, 因此 Y∈S, Y ∈ S , Y \in S, 于是 ∥X∥β∥X∥α=∥Y∥β∥Y∥α∥X∥2∥X∥2 ‖ X ‖ β ‖ X ‖ α = ‖ Y ‖ β ‖ Y ‖ α ‖ X ‖ 2 ‖ X ‖ 2 \dfrac {\Vert \mathbf {X} \Vert _{\beta}}{\Vert \mathbf {X} \Vert _{\alpha}}=\dfrac {\Vert \mathbf {Y} \Vert _{\beta}}{\Vert \mathbf {Y} \Vert _{\alpha}} \dfrac {\Vert \mathbf {X} \Vert_{2}}{\Vert \mathbf {X} \Vert_{2}} =φ(Y;α)φ(Y;β)∈[DminCmax,DmaxCmin] = φ ( Y ; α ) φ ( Y ; β ) ∈ [ D min C max , D max C min ] =\dfrac {\varphi (\mathbf {Y}; \alpha)} {\varphi (\mathbf {Y}; \beta) } \in \left [\dfrac {D_{\min}} {C_{\max}}, \dfrac {D_{\max}} {C_{\min}} \right] 。 令 C1=DminCmax,C2=DmaxCmin, C 1 = D min C max , C 2 = D max C min , C_1=\dfrac {D_{\min}} {C_{\max}} , C_2=\dfrac {D_{\max}} {C_{\min}} , 则： 0<C1≤∥X∥β∥X∥α≤C2 0 < C 1 ≤ ‖ X ‖ β ‖ X ‖ α ≤ C 2 0 \lt C_1 \le \dfrac {\Vert \mathbf {X} \Vert_{\beta}} {\Vert \mathbf {X} \Vert_{\alpha}} \le C_2

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