零空间

在数学中，一个算子 A 的零空间是方程 Av = 0 的所有解 v 的集合。

定义

• 在数学中，一个算子 A 的零空间是方程 Av = 0 的所有解 v 的集合。它也叫做 A 的核, 核空间。用集合建造符号表示为

尽管术语核更加常用，术语零空间有时用在避免混淆于积分变换的情境中。应当避免把零空间混淆于零向量空间，它是只有零向量的空间。

例1

• 考虑函数 {\displaystyle f} ：

它是一个线性映射，因为:

• 它的零空间由所有第一个和第二个坐标一致的向量组成，就是说描述了一条直线

例2

• 在一个线性空间中固定一个向量 {\displaystyle y}
• 定义线性映射 {\displaystyle f} 为向量 {\displaystyle x} 和 {\displaystyle y} 的点积
• 则 {\displaystyle f} 的零空间由所有正交于 {\displaystyle y} 的向量，即 {\displaystyle y} 的正交补组成。

用途

计算特征向量

• 计算特征向量时，需要将已经计算好的特征值 \lambda_{i} 带入：

• 由于矩阵 \left(\mathbf{A}-\lambda_{i} \mathbf{I}\right) 的行列式为 0，因此关于 \mathbf{v} 的线性方程组有无数组非零解
• 而这些非零解加上零向量构成了 \left(\mathbf{A}-\lambda_{i} \mathbf{I}\right) 的零空间
• 从该零空间中找到支撑满空间的单位正交基既可以作为 A 的特征向量了

计算特征值的几何重数

• 矩阵特征值存在对应的特征空间，也就是特征值对应的所有特征向量组成的空间(也就是A-λI 的零空间)
• 该特征空间 (零空间) 的维度就是特征值的几何重数

用于寻找

的所有解（完全解）

• 如果 x_1 是这个方程的一个解，叫做特定解，那么方程的完全解等于它的特定解加上来自零空间的任何向量。

算例

• 考虑矩阵

• 要找到它的零空间，须找到所有向量 {\displaystyle v} 使得 {\displaystyle Av=0}。首先把 {\displaystyle A} 变换成简化行阶梯形矩阵：

• 有 {\displaystyle Av=0} 当且仅当 {\displaystyle Ev=0}。使用符号 {\displaystyle v=[x,y,z]^{T}}，后者方程变为

• 所以，{\displaystyle A} 的零空间是一维空间

参考资料

• https://zh.m.wikipedia.org/wiki/零空间