对PAM-3编码的一些理解

最近USBIF官宣了USB4的升级版本，带宽将从目前的40Gbps提高到80Gbps。

虽然协议的细节要到年底才公布，不过根据网络爆出来的蛛丝马迹，新一代USB协议终于要告别NRZ编码了，采用的是不同于PCIe告别NRZ时用的PAM-4编码，而是PAM-3编码。PAM-3相比PAM-2（NRZ）、PAM-4，理解起来有点不那么直截了当。

PAM-2（NRZ）的1个符号（symbol）代表1个比特（bit），很好理解。单端的话，高电平代表逻辑1，低电平代表逻辑0；差分符号的话也是两种状态，分别代表比特的1和0。

PAM-4的1个符号有4种状态，可以简单理解成4种电平，对应到逻辑，就是2个比特（四种取值）。相当于1个符号对应2个比特。

PAM-3的一个符号有3种状态，对应3种电平。1个符号可以代表的比特数目，显然大于1个比特（只需2种电平），而且肯定小于2个比特（需要4种电平）。那么是不是1.5个比特呢？

学过通信原理或者信息论的同学也许能回忆起来一个公式，就是下面的奈奎斯特定理：

此时我们只考虑1个符号的情况，也就是假定信道带宽W=0.5Hz，即单位时间1秒内只有1个符号，从而信道容量C就表示1秒内1个具有M个状态的符号可以传输的比特数目，即

也可以直接从数学的角度列个方程，即B个比特的取值数量等于1个符号的状态数量M：

也可以得到

当PAM-2编码时，M=2，此时B=1

当PAM-3编码时，M=3，此时B=1.58

当PAM-4编码时，M=4，此时B=2

比较形象的思维过程也可以是下面这样。考虑2个连续的PAM-3符号组合，共有3 x 3 = 9种电平组合，而3个比特的组合有2^3=8种取值，所以平均来看，1个符号可以代表的比特数目略大于1.5个比特，因为有一种符号状态被“浪费”了。

思考严谨一些的话，可以发现在这种编码情形下，9种符号状态可以表示的比特数量的准确值是

浪费掉的比特数量是3.17 - 3 = 0.17，即用连续两个PAM-3符号只能表示3个比特，此时的编码效率是3/3.17=94%。

如果采用3个连续的PAM-3编码组合呢？符号状态共有3 x 3 x 3 = 27种，可以表示的比特数量是

“浪费”掉的比特数量看起来更多了，为4.75 - 4 = 0.75。此时的编码效率是4/4.75=84%，是一个相当大的下降。

从协议制定者的角度考虑，总是希望能找到一个效率最高的编码方式。当然编码方式的选择要考虑的因素很多，但至少从上面两种编码方式的编码效率来看，用连续2个PAM-3符号编码，比连续3个PAM-3符号编码要好得多。

那么连续2个PAM-3编码的方式就是最佳的吗？用公式来推导的话，需要求解下列算式的极大值：

数学有点难，可以用Excel来简单计算一下。下面给出了一些计算结果，编码效率超过99%的用红色高亮。

可以无脑推测，编码效率最高大概就是99.9%了，即用连续12个PAM-3符号进行编码来表示19个比特的效率最高。

但从编解码器的设计复杂度来说，也许7个PAM-3连续符号的编码方案才是编码效率和实现难度的最佳折衷方案。让我们拭目以待，看看下一代USB4是否采用PAM-3编码，以及会采用哪种具体的编码方案。