考研数学综合题2

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:06:15

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一道级数收敛的综合问题

已知

\displaystyle\dfrac{a^{'}_{n}(x)}{\cos x}=\sum_{k=1}^{n}(k+1)\sin^{k}x

，

x\in[0,\dfrac{\pi}{2})

，

a_{n}(0)=0

. （1）证明数列

\{a_{n}(1)\}

收敛；（2）若级数

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{1}{n^{p}a_{n}(1)}

条件收敛，求常数

的取值范围.

解：（1）根据题意，变形得

\displaystyle a^{'}_{n}(x)=\cos x\cdot\sum_{k=1}^{n}(k+1)\sin^{k}x

，由奇数的逐项可积有，

\displaystyle \begin{align*}a_{n}(1)-a_{n}(0) &=\int_{0}^{1}a_{n}^{'}(x)dx=\int_{0}^{1}[2\sin x+3\sin^2 x+\dotsb+(n+1)\sin^n x]d(\sin x)\\ &=(\sin^2 x+\sin^3 x+\dotsb+\sin^{n+1}x)|_{0}^{1}=\sin^2 1+\sin^3 1+\dotsb+\sin^{n+1} 1\\ &=\sin^2 1\cdot\dfrac{1-\sin^{n}1}{1-\sin 1}\end{align*}

根据三角函数的有界性，可知

\textstyle 0<\sin 1<1

，所以

\displaystyle a_{n}(1)=\dfrac{\sin^2 1}{1-\sin 1}(1-\sin^n 1)

是单调递增的，且

\displaystyle a_{n}(1)<\dfrac{\sin^2 1}{1-\sin 1}

；综合上述，由单调有界准则知

\{a_{n}(1)\}

是收敛的；

（2）令一般项

u_{n}=(-1)^{n}\dfrac{1}{n^{p}a_{n}(1)}

，由题意，

|u_{n}|=\dfrac{1}{n^pa_{n}(1)}=\dfrac{1-\sin 1}{\sin^2 1}\cdot\dfrac{1}{n^p(1-\sin^n 1)}

发散，所以

p\leq 1

；当

p>0

时，

\dfrac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|}=\dfrac{n^p(1-\sin^{n}1)}{(n+1)^p(1-\sin^{n+1})}=\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^p\cdot\dfrac{1-\sin^n 1}{1-\sin^{n+1}1} <1

，所以

\{|u_{n}|\}

是单调减少，且

\lim\limits_{n \rightarrow \infty}|u_{n}|=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\dfrac{1-\sin 1}{\sin^2 1}\cdot\dfrac{1}{n^p(1-\sin^n 1)}=0

，由莱布尼茨判别法知，级数收敛，根据上面可知，当

0 < p \leq 1

时，级数

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\dfrac{1}{n^{p}a_{n}(1)}

收敛。

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