考研数学综合题6

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:12:28

3510

发布于 2022-11-23 15:12:28

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利用拉格朗日乘数法求解一道几何极值问题

求椭球面

\displaystyle \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}+z^2=1

被平面

x+y+z=0

截得的椭圆的长半轴与短半轴

分析：将空间几何问题转化为函数极值问题，利用拉格朗日乘数法解出最大值和最小值，即可得到结果。

解：可知平面

x+y+z=0

过点

(0,0,0)

，也就是过椭球面中心，设椭圆上任意一点为

(x,y,z)

，则坐标原点到

(x,y,z)

的距离为

d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

，设

F(x)=x^2+y^2+z^2+\lambda(2x^2+3y^2+6z^2-6)+\mu(x+y+z)

\begin{cases}F_{x}^{'}=2x+4\lambda x+\mu=0 &(1)\\F_{y}^{'}=2y+6\lambda y+\mu=0 &(2)\\F_{z}^{'}=2z+12\lambda z+\mu=0 &(3)\\F_{\lambda}^{'}=2x^2+3y^2+6z^2-6=0 &(4)\\F_{\mu}^{'}=x+y+z=0 &(5)\end{cases}

由题意知，目标函数是

x^2+y^2+z^2

，所以将

(1)\times x+(2)\times y+(3)\times z

，得

2(x^2+y^2+z^2)+\lambda(4x^2+6y^2+12z^2)+\mu(x+y+z)=0\qquad(6)

根据

(4),(5)

式进一步化简

(6)

式得

x^2+y^2+z^2+6\lambda=0\qquad(7)

同理再根据

(1),(2),(3)

式有

-\mu=2x(1+2\lambda)=2y(1+3\lambda)=2z(1+6\lambda)

将

和

用

表示，有

y=\dfrac{1+3\lambda}{1+6\lambda}x

，

z=\dfrac{1+2\lambda}{1+6\lambda}x

，再带入

(7)

式，有

1+\dfrac{1+2\lambda}{1+6\lambda}+\dfrac{1+2\lambda}{1+6\lambda}=0

，化简得

36\lambda^2+22\lambda+3=0

，解得

\lambda_{1,2}=\dfrac{-11\pm\sqrt{13}}{36}

，所以

d^2_{\min}=-6\lambda_{2}=\dfrac{11-\sqrt{13}}{36}，d^2_{\max}=-6\lambda_{1}=\dfrac{-11+\sqrt{13}}{36}

即椭圆长半轴为

\sqrt{\dfrac{11+\sqrt{13}}{36}}

，短半轴为

\sqrt{\dfrac{-11-\sqrt{13}}{36}}

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