考研数学综合题9

用户9628320

发布于 2022-11-23 15:23:18

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利用泰勒展开以及极限保号性证明一道函数的极值问题

设函数

f(x)

满足初值问题

\begin{cases}\displaystyle f^{''}(x)+[f^{'}(x)]^{2}=x^2\\ f(0)=a,f^{'}(0)=0\end{cases}

的特解，试证明

x=0

是

y=f(x)

的极小值点。

分析：利用等式构造高阶函数的导数值，再利用泰勒展开进行函数的近似简化，利用定义构造极限求出

f(x)

在

x=0

左右的符号，进而求解。

解析：由

f(0)=a

，

f^{'}(0)=0

，

f^{''}(x)+[f^{'}(x)]^{2}=x^2

，可知

f^{''}(x)=x^2-[f^{'}(x)]

，带入，求得

f^{''}(0)=0

，同理再求一次导，有

f^{'''}(x)=2x-2f^{'}(x)f^{''}(x)

，带入刚刚求的值，则

f^{'''}(0)=0

；

f^{(4)}(x)=2-2[f^{''}(x)]^2-2f^{'}(x)\cdot f^{'''}(x)

，带入有

f^{(4)}(0)=2

，所以

f^{(k)}(x)

在

x=0

是连续的，所以根据泰勒公式把函数在

x=0

展开有

\begin{align*}f(x)&=f(0)+xf^{'}(0)+\dfrac{x^2}{2!}f^{''}(0)+\dfrac{x^3}{3!}f^{'''}(0)+\dfrac{x^4}{4!}f^{(4)}(0)+\dfrac{x^5}{5!}f^{(5)}(\theta x)\\&=a+\dfrac{x^4}{12}+\dfrac{x^5}{5!}f^{(5)}(\theta x)\quad(0 < \theta < 1)\end{align*}

所以

\begin{align*}\lim\limits_{x\rightarrow 0}f^{(4)}(x)&=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x^4}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{a+\dfrac{x^4}{12}+\dfrac{x^5}{5!}f^{(5)}(\theta x)}{x^4}\\&=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{5!}\lim\limits_{x\rightarrow 0}xf^{(5)}(\theta x)=\dfrac{1}{12}\end{align*}

由极限的保号性知，

f(x)-f(0)

在

x=0

两侧均是正，所以

x=0

是

f(x)

的极小值点。

作者：小熊

写作日期：7.19

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原始发表：2021-07-19，如有侵权请联系 cloudcommunity@tencent.com 删除

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